1.2. Гистограмма и полигон частот

Пусть Х – непрерывная СВ, результаты измерений которой представлены в виде статистического ряда, т.е. построены интервалы , и найдены частоты , . Гистограммой частот называется кусочно-постоянная функция , которая на каждом из интервалов принимает значение , где есть длина соответствующего интервала. При и полагается . Площадь ступенчатой фигуры под графиком равна сумме частот всех интервалов, т.е. единице.

Полигоном частот называется функция , графиком которой является ломаная, последовательно соединяющая точки

, , ... , .

Таким образом, график полигона – это ломаная, вершины которой расположены на серединах ступеней графика гистограммы . При и полагается . При большом объёме выборки гистограмма и полигон частот используются в качестве оценки плотности распределения СВ Х.

Пусть теперь Х – дискретная СВ, результаты измерений которой представлены в виде статистического ряда, т.е. определены различные элементы выборки , расположенные в порядке возрастания, и соответствующие им частоты . Тогда полигоном частот называется функция , графиком которой является ломаная, последовательно соединяющая точки . При большом объёме выборки полигон частот служит статистическим аналогом многоугольника распределения.

1.3. Статистическая функция распределения

Пусть имеется выборка измерений некоторой СВ Х с неизвестной функцией распределения . Статистической (эмпирической) функцией распределения называется функция , где n – объём выборки, – количество элементов выборки, значения которых меньше х. Таким образом, значение статистической функции распределения при каждом значении аргумента х есть частота появления события в данной серии измерений (наблюдений) СВ Х.

Статистическая функция распределения – неубывающая кусочно-постоянная функция, скачки которой соответствуют значениям СВ Х, имеющимся в выборке, и по величине равны частотам этих значений. В частности, если ни одно из этих значений в выборке не повторяется, то величина каждого скачка равна . Если – минимальный, а – максимальный элемент выборки, то при и при .

Поскольку в разных сериях измерений значения при различных х меняются случайным образом, то функция , построенная по данным выборки , представляет собой реализацию случайной функции , где – количество элементов случайной выборки , значения которых меньше х. Из теоремы Бернулли следует, что сходится по вероятности к , т.е. при любых и имеет место .

Пусть, далее, Х – непрерывная СВ. При большом объёме выборки построение становится трудоёмким. Поэтому для получения статистического аналога функции распределения обычно используются данные статистического ряда. Если построены интервалы , и найдены их частоты , , то на правом конце каждого интервала статистическая функция полагается равной , т.е. накопленной частоте этого интервала. При полагается , при полагается . График функции строится в виде ломаной, последовательно соединяющей точки

, , , , ... , ,

где , и называется кумулятивной ломаной. При большом объёме выборки и используются в качестве оценки функции распределения СВ Х.