39. Достаточное условие возрастания (убывания) ф-й.
Функция
y=f(x)
называется возрастающей на интервале
,
если для любых x1
и x2
из этого интервала, для которых x1<x2,
верно неравенство
.
Функция
y=f(x)
называется убывающей на интервале
,
если для любых x1
и x2
из этого интервала, для которых
,
верно неравенство
.
Необходимое
условие возрастания функции. Если
функция y=f(x)
дифференцируема и возрастает на
интервале
,
то
для всех x
из этого интервала.
Необходимое
условие убывания функции. Если функция
y=f(x)
дифференцируема и убывает на интервале
(a,b)
, то
для всех x
из этого интервала.
Достаточное
условие возрастания (убывания функции).
Пусть функция y=f(x)
дифференцируема на интервале (a,b)
. Если во всех точках этого интервала
, то функция возрастает на этом интервале,
а если
, то функция убывает на этом интервале.
40. Экстремумы ф-й.
Точка
x = x0
называется точкой максимума, а число
— максимумом функции, если для всех
точек из некоторой окрестности точки
x0
, не совпадающих с x0
, выполняется неравенство
.
Точка
x = x0
называется точкой минимума, а число
— минимумом функции, если для всех
точек из некоторой окрестности точки
x0
, не совпадающих с точкой x0
, выполняется неравенство
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие существования экстремума
Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточное условие существования экстремума
Если
функция y=f(x)
непрерывна в точке x = x0
, дифференцируема в некоторой окрестности
этой точки, и при переходе через точку
x0
производная
меняет знак, то x = x0
— точка:
а)
— максимум, если
,
при
и
, при
/
б) — минимум, если , при
и , при .
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной:
Находится область определения функции.
Находится производная.
Определяются критические точки.
Выбираются из критических точек те точки, которые принадлежат отрезку.
Считаются значения функции в критических точках принадлежащих отрезку и на концах отрезка.
Среди полученных значений функции выбираются самое большое и самое маленькое.
41. Выпуклость ф-и вверх (вниз). Необх и дост усл-я перегиба ф-и.
Если
график функции
имеет касательную в точке x = x0
, и в некоторой окрестности этой точки
он лежит ниже касательной, то он
называется выпуклым в точке x0
; a если в некоторой окрестности этой
точки он лежит выше касательной, то он
называется вогнутым.
График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b) , если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.
Необходимое
условие точки перегиба. Если x
= x0
— точка
перегиба графика функции y-f(x),
то
или не существует
Достаточные
условия точки перегиба. Если функция
y=f(x)
дважды дифференцируема, график этой
функции имеет в этой точке касательную
и при переходе через эту точку
меняет
знак, то x0
— точка перегиба графика функции
y=f(x).
42. Асимптоты графика функции.
Асимптотой
данной кривой называется такая прямая,
при которой расстояние от точки на
кривой до этой прямой стремится к нулю,
при неограниченном удалении точки на
кривой от начала координат. Прямая
x = x0
является вертикальной
асимптотой,
если выполнено
хотя бы одно из условий
;
.
Прямая
y
= b
называется горизонтальной асимптотой
графика функции f
(x)
при x
→ +∞, если
.
Прямая
y
= kx
+ b,
k
≠ 0 называется наклонной асимптотой
графика функции f
(x)
при x
→ +∞, если
.
Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
43. Общая схема исследования ф-и и построения графика.
Если требуется построить график функции y=f(x), то надо предварительно исследовать эту функцию:
1.найти область определения D(f)
2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;
3) найти асимптоты;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5)
определить четность
или нечетность
, т.е. является ли график этой функции
симметричным относительно оси ординат,
или начала координат, или же такой
симметрии нет;
6
)
найти экстремумы, интервалы возрастания
и убывания;
7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.
44. Дифференциал ф-и, его геометр смысл. Применение.
Дифф-лом
ф-ции
называется произведение производной
этой ф-ции
на приращение аргумента
:
Дифф-л
аргумента равен приращению аргумента:
,
поэтому дифф-л ф-ции равен произведению
ее производной на дифф-л аргумента:
.
Геом.
смысл дифф-ла:
Т.е. дифф-л ф-ции приближенно равен
приращению ф-ции
и пропорционален приращению аргумента
.
F(x0+
)=f(x0)+
.
45. Определение ф-и нескольких переменных. Частные производных и полный дифференциал ф-и нескольких перем
Пусть
имеется n
переменных величин, и каждому набору
их значений
из некоторого множества Х соответствует
одно вполне определенное значение
переменной величины Z,
тогда говорят, что задана ф-я
неск-ких переменных
Переменные
называют независимыми переменными,
или аргументами. Z
– зависимая переменная, символ f
означает закон соответствия, а множество
Х – область определения ф-ции.
а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных
x=f(x,y), точка A(x0,y0)
z=f(x0+x, y0+y)-f(x0,y0) - полное приращение.
Частное приращение по х (по у):
xZ=f(x0+x, y)-f(x0, y0)
yZ=f(y0+y, x)-f(x0, y0)
Частная
производная ф-ция:
dz
=
-
наз полным дифференциалом
Учитывая, что для ф-и f(x,y)=x, f(x,y)=y, df(x,y)=∆x=dx, df(x,y)=∆y=dy, полный диф-л можно записать в виде:
|
Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.
Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине х и y, приращение функции fdf. f(хо+х,yo+y) f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y
46. Экстремумы функций нескольких переменных. Необход и лост усл-е экстремума. Ф-и 2-х перем.
Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y)
Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0
Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:
Если Z=f(x1,x2,...xn), то Z/xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие.
Достаточный признак:
AC-B2
где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0), B= Z``yx (x0,y0),
1) если >0, то М0 - точка экстремума;
если А<0 или С<0, то М0 - точка max;
если А>0 или С>0, то М0 - точка min.
2) если <0, то экстремума нет
3) если =0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.
48. Определение первообразной ф-и и неопределенного
Интеграла. св-ва НИ.
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Cвойства:
49. Замена переменной в НИ. Интегрирование по частям.
∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt
Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:
-вводится новая переменная
x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)
Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.
Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.
Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x
∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)
1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a
dx=1/a dt
=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=
=1/a F(ax+b)+C
2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C
3 ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C
Метод интегрирования по частям
Задано: U=U(x), V=V(x),
∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям
Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.
Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:
1 ∫ lnm(x)dx, ∫arcsinmxdx, ∫arccosm xdx,∫arctgm xdx
2 ∫Pn(x)ln(ax+b)dx,∫Pn(x)eaxdx,∫ Pn(x)sinaxdx,
∫Pn(x)cosaxdx
3 ∫eaxsinbxdx,∫eaxbxdx
4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)k
50. Интегрирование нектор выраж, содерж квадр трехчлен.
Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование:
После
этого сделаем линейную замену
и получим интеграл одного из видов:
Далее
разбиваем интеграл на два слагаемых и
в первом, в числителе подынтегральной
функции содержащем
, делаем замену
,
или
, согласно тому, что стоит в знаменателе.
После этого первое слагаемое приводится
к табличному интегралу. Второе слагаемое,
с в числителе подынтегральной функции,
тоже даёт табличный интеграл.
51. Интегрирование рациональных дробей.
Опр1.
Многочленом в степени n
наз. выражение вида Pn(x)=a0+a1x1+…+an-1xn-1+anxn,
где a0,a1,an-
действит. числа, n>=0,
n
N0.
Опр.
2. Рацион. дробью наз отношение 2-ух
многочленов
,
при m=0,
проблема интегрирования труда не
составляет. Проблема вознивает, если
m>0.В
дальнейшем будет рассм. только правильные
рацион. дроби (когда n<m),
а при (n>=m)
выполняется деление многочлена.
Интегр. прост. Дробей
1.
=
=
3.
=
=
применяем
табл. интегралы и возвращаемся к исходной
переменной.
4.
=
где,
1. Вычисл. иетодом подстановки ,2.см.3
47. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметров по способу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой, параболе.
На практике часто приходится решать задачи сглаживанию эксперимент данных.
Пусть сущ завис-ть для 2-х переем-х, выраженная с пом таблицы, получ экспериментально
Требуется наилуч образом сгладить эксперимент завис-ть м/д переем-ми х и у, т.е. установить зав-ть м/д х и у в виде формулы y = f(x).
О. Формулы, служ для аналитич представлений эксперимент данных, называются эмпирическими.
Задача нах-я эмпирич формул разбивается на 2 этапа.
I этап
Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).
II этап
Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов.
Он состоит в следующем:
В
кач-ве неизв пар-ра ф-и f(x)
выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов
невязок (
)
была мин. Невязка (
)
– это –откл-е от «теоретич» знач-й
,
найд по эмпирич формулам y
= f(x)
от соответствующих опытных знач-й
.
Рассм-м функцию
(т.е.
сумму квадратов всех невязок)
Пусть
в кач-ве ф-и у = f(x)
взята лин ф-я у = ax
+ b.
Тогда задание сводится к отыскиванию
пар-ов a
и b,
при кот ф-я
принимает
наим зн-е. Очевидно, что S
= S(a,b)
есть ф-я 2-х переем-х a
и b,
а
и
-
пост числа, полученные экспериментально.
Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S(a,b) на экстремумы.
Находим частные производные
или
После преобразований, система принимает вид:
(**) 
Система
(**) - система норм уравнений
т.к
квадрат ∑ >∑-мы квадратов
Ф-я S = S(a,b) достигает своего min при a и b, найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:
функция
достигает min
(глобальный min).
52.
.
Определение
и задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла.
Пусть ф. у = f(х)
опр-на на отр. [а; b].
Разобьем отрезок [а; b]
на n
произвольн. частей точками а = x0<x1<x2<…<xn
= b.
Точки x0,
x1,
x2,…,xn
наз-ся
т-ми разбиения. В каждом из полученных
частичн. отр-в [xi-1;
xi]
выберем произв. образом точку ξ,
xi-1
≤
ξ
≤ xi.
Длину частичн. отр. обозначим ∆xi
=
xi
-
xi-1.
Сост-м сумму (1): σ
= f(ξ1)
∆x1
+
f(ξ2)
∆x2
+…+f(ξn)
∆xn
=
.
Сумма «сигма» назыв-ся интегральной
суммой для функции f(x)
на отрезке [a,
b]
соотв-щей данному разбиению отрезка
[a,
b]
на частичн. отр-ки и данному выбору
точек ξi.Обозначим
через λ
длину наибольшего отрезка разбиения.
Опр-е:
Если сущ-ет конечный независящий от
способа разбиения отрезка [a,
b]
на частичные отрезки и от выбора точек
ξi
соответствующих частичных отрезков
[xi-1;
xi]
предел интегральной суммы (1) при
, то этот предел называется определенным
интегралом
от функции f(x)
на пром-ке от a
до b
и обозн- ся
(2)В
этом случае ф-ция называется интегрируемой
на отрезке [a,
b],
a
– нижний предел
53. Свойства определенных интегралов.
1.
2
.-
3.
4.
.
5.
6.
,
если f(x)<=f(x)
7.
