32.2. Функция нескольких переменных

Рассмотрим случай, когда - функция двух переменных и :

. (32.9)

Ошибки в величинах и таковы

, (32.10)

, (32.11)

где и - истинные значения величин и . Как и в предыдущем случае, предполагается, что в пределах измеренных значений можно приближенно считать линейной функцией и . Тогда ошибка в величине равна

, (32.12)

где коэффициенты и даются выражениями

, (32.13)

. (32.14)

Эти частные производные вычисляются в точках и . Из последнего равенства следует, что

. (32.15)

Усредним обе части этого равенства по парам значений и из соответствующих им распределений. Поскольку величины и предполагаются независимыми, среднее значения произведения равно нулю.

По определению,

, (32.16)

, (32.17)

. (32.18)

Следовательно,

. (32.19)

Таблица 32.1.

Операции над ошибками

Функциональная связь между , и	Соотношения между ошибками

Теперь можно установить общее правило. Пусть - известная функция переменных и т.д. Пусть среднеквадратичная ошибка в величине равна и т. д. Тогда среднеквадратичная ошибка в величине дается соотношением

, (32.20)

где

(32.21)

и т.д.

Выражение для в ряде конкретных случаев представлены в таб. 32.1.

32.3. Ошибки и методика эксперимента

Если интересующая нас величина связана с непосредственно измеряемыми величинами и соотношением или , то ошибка на х % в величине или приводит к ошибке на те же х % в величине .

Таким образом, величины и следует измерять примерно с одинаковой точностью, хотя бы они и сильно различались.

Другое дело, когда или . Здесь все зависит от того, сильно ли разнятся величины и . Рассмотрим такой пример

Случай 1

В данном случае большая величина известна с высокой точностью, тогда как величина измерена лишь с точностью 5 %, Окончательная же величина при этом определяется с точностью 0,05 %, Мы видим, что для достижения требуемой точности большую величину нужно измерять точнее, а малую добавку - с меньшей точностью.

Теперь рассмотрим Случай 2

Обе непосредственно измеряемые величины определены с точностью 2 %, а точность конечной величины оказывается равной 75 %. Таким образом, вычисляя разность двух близких независимо измеренных величин, мы сталкиваемся с принципиальной неприятностью: окончательная ошибка сильно возрастает. Значит, нужно по возможности найти иной метод измерения .

В дальнейших лекциях мы приведем примеры экспериментальных методов, которые позволяют использовать преимущества случая 1 и избегать случая 2. Эти примеры показывают, как учет ошибок измерения оказывает влияние непосредственно на методику эксперимента.

А теперь рассмотрим один гипотетический пример. Допустим, что требуется определить величину . Проведена серия измерений и найдено

Следовательно, %, = 10 %, а %.

Предположим, что у нас есть еще резерв времени, который позволяет снизить ошибку измерения одной из величин, скажем, вдвое. Какой из них отдать предпочтение? Если это время затратить на измерение величины , то получим = 1 %, что приведет к %. Если же уточнить , то в результате получим = 5 %, а значит, %. Итак, в первом случае окончательная ошибка мало изменилась, а во втором она уменьшилась почти вдвое.

Мораль такова: основное внимание нужно всегда уделять тем величинам, которые дают наибольший вклад в окончательную ошибку.

Вообще говоря, необходимо так планировать эксперимент, чтобы ни одна из величин не вносила в конечный результат ошибки, значительно превышающей ошибки остальных величин. В приведенном примере очевидно, что измерения, в которых было в 5 раз больше, чем , плохо спланированы; на измерения величины следовало бы затратить больше времени, сократив время измерения величины . Конечно, дополнительные измерения не всегда могут приводить к снижению ошибки. Тем не менее, каждый раз при планировании эксперимента следует помнить о том, что желательно снизить ошибки, вносящие наибольший вклад.