
- •Раздел 10. Основы анализа экспериментальных данных
- •29.2. Классификация погрешностей
- •30. Обзор программного обеспечения для выполнения анализа, обработки и представления экспериментальных данных
- •30.1. Математические (символьные) вычисления
- •30.2. Расчеты и статистическая обработка результатов
- •30.2.1. MathCad
- •30.2.2. Matlab - Scilab - Octave
- •30.3. Построение графиков
- •30.3.1. Sigma Plot
- •30.3.2. Origin
- •30.3.3. Gnuplot
- •30.4. Работа с текстом
- •30.4.1. Ms Word
- •30.4.2. OpenOffice.Org
- •31. Анализ результатов измерений случайной величины.
- •31.1. Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений
- •31.2. Результат измерения. Доверительный интервал
- •31.3. Нормальное или гауссово распределение
- •31.4. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение
- •31.5. Среднеквадратичная ошибка среднего.
- •31.6. Приборная погрешность. Класс точности прибора.
- •31.7. Сложение случайной и приборной погрешностей. Полная погрешность измерения
- •31.8. Запись и округление результата измерения
- •32. Ошибки косвенных измерений
- •32.1. Функция одной переменной
- •32.2. Функция нескольких переменных
- •32.3. Ошибки и методика эксперимента
- •33. Анализ результатов совместных измерений
- •33.1. Цель и особенности эксперимента по определению функциональной зависимости
- •33.2. Некоторые определения
- •33.3. Интерполяция
- •33.3.1. Глобальная интерполяция
- •33.3.2. Локальная интерполяция
- •33.3.2.1. Кусочно-линейная интерполяция
- •33.3.2.2. Интерполяция кубическими сплайнами
- •33.3.2.3. Интерполирование b-сплайнами
- •33.4. Экстраполяция
- •33.5. Сглаживание данных
- •33.6. Регрессия
- •33.6.1. Выбор вида математической модели
- •33.6.2. Метод наименьших квадратов.
- •33.6.2.1. Линейная зависимость.
- •33.6.2.2. Линеаризация
- •33.6.2.3. Полиномиальная регрессия
- •33.6.2.4. Регрессия линейной комбинацией функций
- •33.6.2.5. Регрессия общего вида.
31.7. Сложение случайной и приборной погрешностей. Полная погрешность измерения
Пусть
результаты наблюдений наряду со случайной
содержат и систематическую приборную
погрешность
,
которую можно считать постоянной в
течение времени проведения измерения,
так как характеристики прибора за это
время не успевают заметно измениться.
Наблюдаемые в опыте результаты наблюдений
будут при этом равны
.
Наличие постоянной погрешности, вносимой
прибором в результаты наблюдений,
приводит к смещению выборочного среднего
. (31.34)
Однако ее наличие совершенно не влияет на случайную погрешность результата измерения.
Смещение
среднего и доверительного интервала
может привести к тому, что истинное
значение
измеряемой величины окажется за пределами
найденного доверительною интервала
,
как это показано на рис. 31.6.
Чтобы
этого не произошло, необходимо расширить
доверительный интервал на величину
верхней границы возможных значений
погрешностей прибора
.
В этом случае
и результат измерения можно записать
в виде
, (31.35)
где
назовём полной погрешностью результата
измерения. Новый доверительный интервал
(
)
обязательно накроет истинное значение
,
так как
(рис. 31.6). Отметим, что доверительная
вероятность, соответствующая найденному
таким образом доверительному интервалу,
будет превышать доверительную вероятность,
используемую для нахождения случайной
составляющей погрешности измерения.
Рис. 31.6. К определению полной погрешности измерения
Указанный
способ суммирования погрешностей дает
максимальную верхнюю границу полной
погрешности результата измерения.
Однако маловероятно, что в данном
эксперименте полная погрешность примет
своё максимальное значение. Учитывая,
что, как правило, на практике приборная
погрешность, как отдельного прибора
(погрешности квантования и шкалы
прибора), так и в серии приборов изменяется
нерегулярным образом, оставаясь в
границах
,
полная погрешность результата измерения
с учетом неизвестности величины и знака
лежит в пределах
. (31.36)
Сопоставляя это выражение с неравенством треугольника
(31.37)
можно заключить, что в качестве разумной оценки полной погрешности результата измерения можно выбрать величину
(31.38)
Строгое
рассмотрение суммирования случайной
и приборной погрешностей основано на
построении совместной функции плотности
распределения вероятности
.
Будем считать, что в интервале (
)
все возможные значения приборной
погрешности равновероятны, то есть
приборная погрешность распределена
равномерно. Тогда совместная функция
распределения
представляет собой свертку нормального
(или распределения Стьюдента для
конечного числа наблюдений
)
и равномерного
законов распределения:
. (31.39)
Можно построить доверительный интервал для совместной функции распределения случайной и приборной погрешностей. Полученное выражение для полной погрешности результата измерения хорошо (с точностью до 5%) аппроксимируется формулой.
Итоговая запись результата измерения будет иметь вид
(31.40)
с
вероятностью
,
где
- вероятность определения случайной
составляющей погрешности измерения.