21. Прямоугольные декартовы координаты вектора.

Рассмотрим декартову систему координат Охуz. Пусть – единичные векторы соответствующих осей координат Ох, Оу, Оz, т.е. и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (рис. 1). Тройка векторов называется базисом.

Теорема 1. Любой вектор можно единственным образом разложить по базису , т.е. представить в виде

, (1)

где - числа

22. Определение скалярного произведения, его свойства и механический смысл. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов и нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Таким образом,

(4)

где – угол между векторами и (рис. 2).

Скалярное произведение обозначают символом , или , или .

По формуле поэтому выражение (4) можно записать:

.(5)

Для скалярного произведения векторов справедливы следующие свойства:

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность, ;

3) – дистрибутивность;

4) .Доказательство. Коммутативность скалярного произведения непосредственно вытекает из формулы (4).

Докажем свойство 2). С учетом формул (5) , будем иметь

(6)

Доказательство свойства 3). По формуле (5)

(7)

Согласно формуле (),

.

Таким образом, с учетом (7) и формулы (5), получаем

Для доказательства свойства 4) заметим, что по формуле (4) , если , т.е. если . Если же , то также, по определению скалярного произведения, Но, тогда и, поэтому, равенство в случае также справедливо. □

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . На основании свойства 4) имеем: , отсюда, в частности,

Из свойств 1) и 2) вытекает, что

.(8)

Из свойства 3) следует, что при скалярном умножении векторных многочленов можно выполнять действия почленно и, в силу (8), объединять коэффициенты векторных сомножителей

23. Перпендикулярности двух векторов. Сформулируем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

Свойство 5). Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть и . Тогда

Достаточность. Пусть и Используя формулу (4), получаем лишь если или . Значит, . □

Из равенства (4) получаем формулу для определения косинуса угла между ненулевыми векторами:

.(9)

Отметим, что из свойств 4) и 5) для базисных векторов непосредственно получаем следующие равенства:

Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Если векторы и заданы своими координатами: , то их скалярное произведение вычисляется по формуле

.(11)

Доказательство. Разложим векторы и по базису согласно формуле (4):

Тогда

(12)

Из формулы (8) и свойства 5) вытекает необходимое и достаточное условие перпендикулярности ненулевых векторов и : сумма произведений одноименных координат этих векторов равна нулю, т.е.

.

24. Ориентация тройки векторов в пространстве. Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. В записи вектор считается первым, – вторым, – третьим; в записи вектор – первый, – второй, – третий.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется левой.

25. Векторное произведение двух векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторным произведением векторов и называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам и направлен так, что векторы образуют правую тройку векторов (рис. 1).

Рис. 1

Рис. 2

Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Из определения векторного произведения следует, что (рис.1)

, (1)

где – угол между векторами и , S – площадь параллелограмма.

Векторное произведение двух векторов и обозначают символом

, или , или .

Выясним физический смысл векторного произведения. В физике момент силы с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором , перпендикулярным плоскости, в которой лежат точка О и вектор (рис. 2), таким, что тройка векторов – правая. Длина вектора определяется как произведение длины вектора на плечо , где – расстояние от точки О до прямой, на которой лежит вектор силы , т.е. , или – радиус–вектор точки приложения силы . Таким образом, момент силы относительно некоторой точки , есть векторное произведение радиус–вектора точки приложения силы на вектор силы : .

Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е.

. (2)

Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то равенство (2) очевидно, т.к. и – нулевые векторы.

Пусть и неколлинеарны. Из определения векторного произведения вытекает, что векторы и имеют одинаковые длины и коллинеарны, но направлены противоположно (рис. 3), т.к. векторы и образуют правые тройки. Значит, . □

2. Ассоциативность:

. (3)

Для доказательства равенства (3) используем следующие рассуждения. Векторы и имеют одинаковую длину, т.к. при получаем

при имеем

где Кроме того, рассматриваемые векторы одинаково направлены (рис. 4). Действительно, при оба имеют то же направление, что и вектор , а при – противоположное. Если , то равенство (3) очевидно

26. Определение смешанного произведения векторов, его свойства и геометрический смысл. Пусть даны три вектора и . Умножим вектор векторно на , а полученный вектор умножим скалярно на и тем самым определим число . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов Смешанное произведение обозначают также , или , или .

Выясним геометрический смысл смешанного произведения.

Утверждение1.Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком «+», если тройка – правая, со знаком «–», если тройка – левая. Если же компланарны, то

Доказательство. Пусть даны некомпланарные векторы , образующие правую тройку. Обозначим через объем параллелепипеда, построенного на этих векторах; через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а через h – высоту параллелепипеда (рис.1). Тогда из определения векторного и скалярного произведений получаем , где – угол между векторами и , а – угол между векторами и

Так как то Если же тройка – левая, то и

Рассмотрим теперь случай компланарных векторов . Если то, очевидно, Пусть Тогда либо если векторы и коллинеарны, либо если и неколлинеарны. В любом случае, ☐

Из утверждения 1 вытекает, что абсолютная величина остается той же, независимо от порядка сомножителей Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным. Это зависит от того, образуют перемножаемые векторы, взятые в указанном порядке, правую или левую тройку.

Таким образом, получаем следующее свойство смешанного произведения.

Утверждение 2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, т.е.