17. Решение однородных систем линейных уравнений.
Однородная система уравнений
(1)
есть
частный случай системы (10.1). Легко видеть,
что система (1) всегда
имеет нулевое решение
,
и поэтому она совместна. Нулевое решение
является единственным тогда, когда ранг
матрицы системы равен количеству
неизвестных n.
В частности, это справедливо для
невырожденной системы n
уравнений с n
неизвестными. Если ранг матрицы А
системы (1) меньше
n,
то однородная система (1) будет
иметь
ненулевые решения. Например, однородная
система n
линейных
уравнений с n
неизвестными имеет ненулевые решения
в том случае, если она вырождена.
18. Понятие вектора. По аналогии со школьным курсом геометрии дадим геометрическое толкование вектора, как направленного отрезка (п. 1.10) на плоскости или в пространстве.
Связанным
вектором
с началом в точке А
и концом в точке В
называют направленный отрезок АВ,
в котором точка А
является началом, а точка В
– концом. Начало вектора называют еще
точкой
его приложения.
Векторы
также обозначают одной буквой с чертой
над ней, например,
.
Направление вектора на рисунке указывают
стрелкой (рис. 1).
Е
сли
для направленного отрезка АВ
фиксируются только длина и направление
(при произвольности его положения на
плоскости и в пространстве),
то он называется свободным
вектором.
Длина
отрезка АВ
называется также длиной
вектора
.
Вектор нулевой длины называется нулевым
и обозначается
или просто 0.
Векторы
и
называются коллинеарными
(параллельными),
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, при этом пишут
.
Векторы
и
называются одинаково
направленными,
если полупрямые
и
одинаково направлены, и противоположно
направленными,
если эти полупрямые противоположно
направлены.
Отметим, что коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены, см. рис. 2б)) или противоположно направлены (см. рис. 2а)).
Векторы
и
называются
равными
(
),
если выполнены два условия:
а)
;
б) и одинаково направлены.
Векторы,
имеющие противоположные направления
и равные длины, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору
,
обозначается
.
На рис. 2а) изображены противоположные,
а на рис. 2б) – равные
векторы
и
.
Из
определения равенства векторов следует,
что каков бы ни был вектор
и точка О,
всегда можно построить единственный
вектор
с началом в точке О,
равный вектору
,
или, как говорят, отнести начало вектора
к точке О
(см.
рис. 3). Такие векторы в аналитической
геометрии называют
свободными:
их можно отнести к общему началу.Проекция
вектора на ось.
Пусть в пространстве заданы ось
и
некоторый вектор
.
Проведем через точки А
и
В
плоскости, перпендикулярные
данной оси
и обозначим через
и
точки пересечения
этих плоскостей с осью
(рис.4). В общем случае векторы
расположены
на скрещивающихся прямых. Для наглядности
изображений
далее, как правило, будут рассматриваться
рисунки на плоскости.
Рис. 4 Рис. 5а) Рис. 5б)
Проекцией
вектора
на ось
называется величина
на оси
,
которая обозначается
.
Согласно
пункту 1.10,
имеем:
,
если направление
совпадает с направлением оси
;
,
если направление
противоположно направлению оси
.
Покажем, что имеет место равенство
, (1)
где – угол между вектором и положительным направлением оси .
19.
Координаты вектора.
Пусть в пространстве задана декартова
система координат
и произвольный вектор
.
Обозначим:
и назовем эти числа
(проекции вектора
на оси координат) координатами
вектора
.
Будем писать
(символ
для краткости, как правило, далее
опускаем).
Докажем,
что для любых точек
и
координаты
вектора
определяются формулами:
. (2)
Длина
вектора.
Рассмотрим произвольный вектор
считая, что его начало совпадает с
началом координат
.
Пусть вектор
не лежит ни в одной координатной
плоскости.
Через
точку А
проведем плоскости, которые перпендикулярны
осям координат и вместе с координатными
плоскостями образуют прямоугольный
параллелепипед, диагональю которого
будет отрезок ОА
(рис. 7).
Известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, т.е.
.
Но
Тогда
имеем
или
. (3)
Формула (3) выражает длину вектора через его координаты и справедлива и в том случае, если вектор будет лежать в какой-либо координатной плоскости (тогда в (3) одна из координат будет равна нулю).
Пример
1.
Даны две точки
и
Найти расстояние между ними.
Решение.
Определим
расстояние между точками А
и
В,
как длину
вектора
.
□ (4)
Направляющие
косинусы вектора.
Обозначим
через
углы
между вектором
и осями координат (рис.7). Из формул (1) и
(3) получаем:
(5)
Числа
называются направляющими
косинусами
вектора
.
Возводя в квадрат каждое из равенств (5) и складывая полученные результаты, получим
(6)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
20. Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Пусть
даны два вектора
и
.
Суммой
называется вектор,
который имеет началом начало вектора
и концом – конец вектора
при условии, что начало вектора
совпадает с концом вектора
(или диагональ параллелограмма,
построенного на векторах
и
).
Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов и можно найти по правилу треугольника (рис. 8а)) или параллелограмма (рис. 8б)).
Рис. 8а) Рис. 8б)
По
определению суммы двух векторов можно
найти сумму любого числа заданных
векторов. В частности, пусть заданы три
вектора
и
.
Сложив
и
,
получим вектор
Прибавив к нему вектор
,
получим вектор
Разностью
векторов
и
называется вектор
,
который в
сумме с вектором
дает вектор
.
Пусть
даны вектор
и число
Произведением
называют
вектор, который коллинеарен вектору
,
имеет длину, равную
,
и направление такое же, как и вектор
,
если
,
и противоположное, если
(рис. 9). Если среди сомножителей
есть 0, то под произведением
понимается нулевой вектор.
Геометрический
смысл операции умножения вектора на
число следующий: если
,
то при умножении вектора
на число
вектор
«растягивается» в
раз, а если
– «сжимается» в
раз. На рис. 9 изображен случай
.
Утверждение
1. Если
векторы
и
коллинеарны и
,
то существует единственное число
,
что
.