§4.Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования

Пусть область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащим в _, ограничиваемая контуром область также целиком содержится в . В дальнейшем предполагаем, что контур представляет собой кусочно-гладкую замкнутую кривую.

Пример односвязной области: круг

Пример неодносвязной обдасти: круг с выколотой точкой. G содержит выколотую точку, а D –нет, следовательно G не входит в D целиком.

Теорема 3.5. Пусть - односвязная область, .

Условие, что выполнено равенство равносильно тому, что всюду в этой области .

►

1. Если всюду в выполнено равенство , то по формуле Грина .

2. Предположим, что в области есть точка , в которой . Пусть, для определенности, .

Тогда, ввиду непрерывности функции существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим .

По формуле Грина

.

Это противоречит предположению о том, что должен быть равен 0.◄

Перейдем к вопросу о независимости интеграла от формы пути интегрирования и рассмотрим два интеграла:

и ,

Вдоль различных путей, соединяющих точки О(0,0) и А(2,1).

Если мы рассматриваем отрезок прямой, соединяющей эти точки, то , поскольку уравнение этой прямой имеет вид y=x/2, получаем

,

)=

Если взять эти интегралы вдоль кривой, заданной уравнением , то

Наконец, интегрирую вдоль кривой , получаем

Мы видим, что первый из интегралов меняет свою величину в зависимости от того, какую форму имеет кривая, соединяющая точки О и А. Во всех рассмотренных примерах второй из интегралов имеет одну и ту же величину. Можно было бы рассматривать и другие кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки О и А. Второй из рассматриваемых интегралов был бы всё время равен 4.

Более того, можно доказать ( это будет следовать из дальнейших рассмотрений), что если рассматривать произвольные точки С и D на плоскости и произвольные кусочно-гладкие кривые, соединяющие эти точки, то величины зависит только от точек C и D и не зависит от того, вдоль какой из кривых, соединяющих эти точки, производиться интегрирование.

Определение 3.1. Криволинейный интеграл

не зависит от формы пути в области D, если для любых точек A, B, D и любых кривых Г_{1 ,} Г₂, целиком лежащих в D и соединяющих точки А и В, выполняется равенство

.

Теорема 3.6. Пусть - область. Условие независимости от формы пути в равносильно тому, что для любого замкнутого контура .

►

1. Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть - замкнутый контур в . Выберем на две произвольные точки и и рассмотрим

соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом состоит из и проходимого в противоположном направлении контура . По условию, . Значит, .

2. Пусть для любого контура выполняется равенство .

А) В случае, если , соединяющие точки не имеют других общих

точек, то, как и в предыдущей части, состоит из кривой и проходимой в противоположном направлении кривой . Поэтому , откуда .

Б) Если имеют конечное число общих точек, кроме и , то можно

применить доказанное утверждение пункта 2А) к каждому полученному контуру, интеграл по которому, в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части . По свойству аддитивности интеграла получаем

В) Случай, когда кроме и кривые имеют бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.

Сопоставляя теорему 3.5 с теоремой 3.6, получаем следствие.

Следствие. Пусть - односвязная область. не зависит в от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество .