2. Синтез виброзащитной системы, содержащей пассивные и активные элементы

Рассмотрим механическую систему, представляющую собой твёрдое тело (объект защиты), соединённое с жёстким недеформируемым основанием N линейным упруго-демпфирующими подвесами. Источником кинематических возмущений является пространственное колебание основания. Для улучшения качества виброзащиты, помимо пассивных подвесов ВЗС содержит k активных элементов, формирующие силы U₁(t), U₂(t),…, U_k(t), прикладываемые в соответствующих точках А₁, А₂,…, А_k (рис 2.1.). Относительно активных элементов предполагается, что они представляют собой идеальный сервомеханизм.

Предполагаем, что колебания амортизируемого тела являются малыми, а начало неподвижной системы координат в положении статического равновесия совпадают с центром инерции объекта. В качестве подвижных осей координат рассмотрим главные центральные оси инерции объекта защиты. Считаем, что неподвижные оси координат совпадают в положении равновесия с подвижными.

Уравнение движения объекта защиты запишем в виде

(2.2.1)

U₂

A₁ y

(N)

U_k

x

Рис. 2.1. динамическая схема для задачи синтеза ВЗС

V_i(g_i)

l

l_i

Рис 2.2. Иллюстрация ограничений на свободный ход упруго-демпфирующих подвесов

Где q – 6-мерный вектор обобщённых координат, характеризующий относительно смещения тела; - 6-мерный вектор возмущений (вектор обобщённых ускорений координат, описывающий движение основания); А – 6х6 диагональная матрица моментов инерции тела; В – 6х6 матрица коэффициентов демпфирования; С – 6х6 матрица коэффициентов жёсткостей; U -6-мерный вектор управляющих сил, определяемых выражением

(2.2.2)

Где - координаты точки А_i; - направляющие косинусы, определяющие направление действия силы U_i, прикладываемое в точке А_i.

На практике часто к проектируемой ВЗС накладываются требования об ограничении абсолютных ускорений некоторых s – заданных точек объекта защиты. Эти ограничения могут быть записаны в виде

(2.2.3)

Где W_i – заданная постоянная положительно определённая матрица; u – 6-мерный вектор определяемый соотношением

В качестве требований к габаритным размерам ВЗС накладываются ограничения на относительные смещения в заданных направлениях n – заданных точек тела. Эти ограничения могут быть представлены следующим образом

(2.2.4)

Где d_i – заданнывй постоянный 6-мерный вектор.

Под задачей проектирования понимаем задачу определения коэффициентов жёсткостей и демпфирования амортизаторов, углов Эйлера, определяющих ориентацию трёх простых упругих элементов, и управляющие силы U_i , обеспечивающих при заданных возмущениях выполнение требований (2.2.3)-(2.2.4), предъявляемых к системе виброзащиты.

Функционал

(2.2.5)

Где

Может быть использован при проектировании как критерий качества так, как минимизируя его мы стремимся к выполнению ограничений (2.2.3)-(2.2.4), что было показано на расчётных примерах в [17].

В связи с этим рассмотрим вспомогательную задачу аналитического конструирования оптимального регулятора. В качестве уравнений движения рассмотрим соотношения

Итак требуется определить управление доставляющее минимум функционалу (2.2.5).

Согласно результатам предыдущей главы оптимальное управление имеет вид

(2.2.6)

Где К₂, К₃, R – 6х6 – матрицы, являющиеся решением матричной системы уравнений

(2.2.7)

Причём матрица

Составленная из решений (2.2.7) должна быть симметричной положительно определённой; N₂(t) – 6-мерная вектор функция является частным решением линейной системы дифференциальных уравнений

(2.2.8)

Учитывая определение вектора u, из уравнений движения получим справедливость соотношения

(2.2.9)

Из сопоставления выражений (2.2.6) и (2.2.9) можно получить формулы определяющие матрицы В, С и управляющих воздействий U(t). В реальной ВЗС матрица демпфирования В и жёсткостей С являются симметричными. Поэтому, введя в рассмотрение матрицы и , определяемые соотношениями

Запишем значения матриц В, С и управляющих воздействий U реализующих оптимальное управление (2.2.6) в виде

(2.2.10)

(2.2.11)

Из уравнений (2.2.7) видно, что К₂ и К₃, а в силу (2.2.10) и характеристики упруго-демпфирующих подвесов полностью не зависят от свойств внешних воздействий. При отсутствии постоянно действующих возмущений ВЗС, определяемая соотношениями (2.2.10)-(2.2.11), обеспечивает асимптотически устойчивое движение защищаемому объекту, при этом качество переходного процесса будет оптимальным в смысле минимума квадратичного функционала.