Глава 1 Виброзащитные системы. Состояние и задачи исследования

1. Проблема виброзащиты

Проблема виброзащиты возникает практически во всех областях современной техники, так как работа многих машин и механизмов сопровождается вибрациями и ударами. Вибрация – это колебательное движения элементов машин, их отдельных узлов. При этом проблема виброзащиты тесно связана с необходимостью снижения уровня вибрации и ударов с целью повышения качества, надёжности и производительности работы машин и приборов. Для её решения используются виброзащитные систем, комплекс устройств с упругими и демпфирующими элементами. Изучение процессов, протекающих в взс, а также решение задач выбора, расчёта и конструктивной реализации взс составляют предмет теории виброзащиты.

Практически во всех сферах современной техники встаёт вопрос снижения уровня вибраций и ударов с целью повышения качества, надёжности и производительности работы машины и приборов. Создание эффективных средств защиты объектов от вибраций и ударов тесно связано с необходимостью улучшения качества проектирования систем защиты.

Под задачей проектирования ВЗС можно понимать задачу определения системы амортизации, обеспечивающей выполнение ограничений, в виде которых представлены разнообразные требования, предъявляемые к проектируемым системам виброзащиты. Проектирование оптимальной ВЗС рассматривают как задачу выбора ситемы виброизоляции, удовлетворяющей всем заданным ограничениям и доставляющей экстремум некоторому критерию качества, причём данный критерий оптимальности выбирается исходя из цели амортизации.

В современной науке предложены различные подходы для построения оптимальных ВЗС. Один их таких подходов заключается в том, что силовое воздействие, формируемое виброзащитным устройством, рассматривается как управление, что влечёт за собой использование методов, разработанных в теории оптимального управления. В связи с этим задачу оптимизации ВЗС можно рассматривать как задачу оптимального управления, что в первые, как отмечает Мижидон А.Д. в своей работе [14], в [5] было реализовано применительно к простейшему объекту защиты с одной степенью свободы.

Уравнение движения объекта единичной массы, который установлен на вибрирующем основании, имеет вид

(1.1.1)

Где х – относительно смещение объекта; ϭ(t) – смещение основания; φ(х,х^.,t) – реакция связи объекта с основанием (характеристика амортизатора).

Важнейшим требованием к качеству ВЗС является следующее. Абсолютное ускорение объекта в каждый момент времени не должно превышать заданного уровня

(1.1.2)

А относительно смещение – величины

(1.1.3)

Спроектированная ВЗС должна удовлетворять одновременно (1.1.2) и (1.1.3). Эти требования являются противоречивыми в том плане, что минимизация J₁ приводит к увеличению J₂, а минимизация J₂ – к увеличению J₁. В условиях, когда заданы численные значения l и L, представляет интерес оценка предельных возможностей системы защиты, причём эта оценка не должна зависеть от структуры ВЗС. В известных постановках задачи о предельных возможностях, предполагается, что характеристики амортизатора являются функциями времени, т.е.

Ниже приведены наиболее типичные задачи о предельных возможностях.

1. Требуется определить программное управление u(t), удовлетворяющее ограничению (1.1.2) и минимизирующее свободный ход (1.1.3) (эта задача соответствует минимизации габаритных размеров при заданной допустимой перегрузке).

2. Требуется определить программное управление u(t), доставляющее минимум (1.1.2) и обеспечивающее выполнение ограничений (1.1.3)

(эта задача соответствует минимизации перегрузки при заданном свободном ходе амортизатора).

В данных задачах движение основания является заданной функцией времени.

В работе [4] решена задача определения программного управления u(t), удовлетворяющего

Обеспечивающего выполнение

И доставляющего минимум функционалу

Приведённые выше методы позволяют определить управление, реализующее предельные возможности, при этом приходится ограничиваться рассмотрением конечных интервалов времени. Для определения численного значения критерии качества, соответствующего оптимальному управлению, необходимо знать управление на всем интервале времени. С другой стороны, если ВЗС должна функционировать достаточно долго, а возмущения являются сложными полигармоническими функциями, определение оптимального управления не представляется возможным. В связи с этим возникает необходимость разработки методов, позволяющих производить х возможностей ВЗС без определения оптимального управления.

Отметим также, что задачи 1 и 2 на основе игровой постановки могут быть обобщены на классе внешних воздействий.

В теории виброзащиты проблему оптимальной амортизации часто связывают с задачей выбора оптимальных параметров. Оптимальный синтез параметров предполагает, что задан конкретный вид характеристики амортизатора

Где v- конструктивные параметры, подлежащие определению. Остаётся определить параметры v, доставляющие минимум заданному критерию качества при заданных ограничениях.

Помимо критериев (1.1.2), (1.1.3) в качестве оптимизируемого функционала могут быть также использованы суммарные показатели вида

(1.1.4)

Или

(1.1.5)

Как отмечается в [9], имеется ряд работ, в которых производится синтез оптимальной структуры ВЗС на основе определения в виде закона с обратной связью.

Заметим, что в силу неаддитивности функционалов (1.1.2), (1.1.3), точное решение соответствующих им задач оптимального управления представляется в общем случае сложной задачей. Поэтому для приближённого решения часто используют замену указанных функционалов косвенной оценкой. В качестве таковой, например, может служить интеграл от квадрата перемещения. В этом случае для решения могут быть использованы принцип максимума [12], динамическое программирование [13]. Суммарной косвенной оценкой критерия (1.1.5) может служить квадратический функционал. В этом случае, как отмечается в [9], мощным инструментом решения задачи структуры амортизирующего устройства мог бы являться метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов, предложенный Летовым [13].

В [17] предлагается задача синтеза оптимальной структуры рассматривать как расширенную задачу параметрической оптимизации. При этом математическая модель системы, параметры и ограничения будут переменными для различных структур.

Большинство моделей ВЗС сводятся к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений

(1.1.6)

Где q – n-мерный вектор обобщённых координат; v – r-мерный вектор конструктивных параметров, подлежащие определению.

Здесь критерий качества виброзащиты выступает функционал от обобщённых координат и скоростей, а также может зависеть от вектора оптимизируемых параметров

(1.1.7)

В связи с этим задача параметрической оптимизации звучит следующим образом: при заданном начальном состоянии системы требуется определить , минимизирующий критерий качества (1.1.7).

На практике могут быть наложены дополнительные ограничения на фазовые переменные. Например, на свободный ход амортизаторов. Как отмечено в [18], эти ограничения можно учесть путём введения их в (1.1.6) (с помощью множителей Лагранжа, применением метода штрафных функций).

Для решения задачи параметрической оптимизации (1.1.6)-(1.1.7) в случае детерминированных воздействий применяют методы математического программирования, в частности итерационные градиентные методы. В случае стохастических возмущений – так называемые вероятностные итерационные методы [17]. Эффективность решения задач синтеза конкретных ВЗС, как отмечается в [18], существенным образом зависит от правильного выбранного алгоритма. Выбор оптимального алгоритма может быть осуществлён только квалифицированным разработчиком ВЗС, обладающим значительным опытом решения задач параметрической оптимизации. Но даже при оптимальном алгоритме решение задач синтеза достаточно сложных ВЗС требует больших затрат машинного времени, поэтому интерес вызывает разработка автоматизированных методик синтеза параметров ВЗС.