27. Связь полярных коор-т на пов-ти элл-да и пл-ти
Ур-ния
( 7. 1 ) – ( 7. 4 ) при соотв-щем выборе вида
функций осуществляют связь между
параметрическими коор-тами на пов-ти
элл-да и пл-ти. Для геодез. проекций
необходимо также иметь ф-лы, связывающие
сфероидические и плоские полярные
коор-ты. Несложно заметить ур-ние
связи дирекционного угла и азимута
( 7. 12 )
Ф-лы
для вычисления сближения меридианов
γ1 в т. Q1 получают из ур-ний ( 7. 10 ).
Поправка в направление за кривизну
изображения геодез. линии элл-да на
пл-ти δ12 получается по ф-лам дифф-льной
геометрии и для малых длин может быть
записана в виде
где Г
– кривизна кривой s
Связь
длины кривой S
на пл-ти с длиной геодез. линии элл-да s
выражается интегралом
(7.
15)
Связь
длины хорды d
с длиной кривой S
определяется ур-нием дифф-льной геометрии
(7.
16)
Т.о. получены осн. ур-ния конформных геодез. проекций.
28. Характеристические ур-ния геодез. Проекций
Линейный
элемент пов-ти элл-да в функции геодез.
коор-т имеет выражение, к-рое преобразуется
к изометрической форме следующим
образом
(
7. 17 )
С-ма
плоск прямоугольных коор-т изометрическая.
Линейный элемент на пл-ти выраж-ся
ур-нием
(7.20)
Для конформных геодез. проекций запишем ур-ния связи изометрических коор-т в прямом и обратном изображениях
(
7.21 )
Учитывая,что
в геодез. проекциях решается задача
изображения сравнительно малых областей
элл-да, для каждой из к-рых можно выбрать
нек-рые средние значения коор-т q0
и L0
на элл-де, к-рым на пл-ти будут соответствовать
значения x0
, y0
, ур-ния ( 7. 21 ) можно записать в виде
. (
7. 22 )
Здесь L0 – долгота осевого меридиана.
в
геодез. проекциях выполняется условие,
что осевой меридиан изображается прямой
линией на пл-ти, когда выполняются
условия l
= 0; y
= 0.
В теории отображения пов-тей указывается на то, что все многообразие конформных отображений следует из аналитической функции комплексных переменных, связывающей изометрические коор-ты на обеих пов-тях (7. 3, 7. 4, 7. 21). Под изометрическими коор-тами на люб. пов-ти понимают такие, когда равным приращениям коор-т соответствуют равные линейные приращения вдоль коор-тных линий. Заметим, что в математике такая с-ма коор-т наз-ся изотермической, а в картографии и геодезии принято название изометрическая. Т.о., необходимо установить изометрические коор-ты степени (q )j, к-рые предст-ют собой малые убывающие величины при малых q.
29. Общее алгоритмическое описание геодез. Проекций
(
7. 24 )
Произведя
возведение в степени выражений, стоящих
в правых частях ( 7. 24 ), а затем
воспользовавшись условием равенства
комплексных выражений, когда равны их
действительные и мнимые части, получаем
следующие выражения для связи коор-т
, (
7. 27 )
где Pj = P1P(j-1) – Q1Q(j-1); Qj = P1Q(j-1) + Q1P(j-1) при условии P0 = 1; Q0 = 0. При этом имеем P1 = q; Q1 = l.
Для
связи коор-т в обратном переходе получаем
ур-ния
; (
7. 30 )
где P/ j = P/ 1P/ (j-1) – Q/ 1Q/ (j-1); Q/ j = P/ 1Q/ (j-1) + Q/ 1P/ (j-1) при условии P/ 0 = 1; Q/ 0 = 0. Здесь следует иметь в виду также P/1 = x; Q/1 = y.
Для
частного м-ба длин и сближения меридианов
имеем также производные, входящие в
ур-ния Коши – Римана получают
выражения
(7.32)
Как видно из полученных выражений, они общие для люб. из определенного нами класса геодез. проекций. Вид проекции определяется только коэф-тами характеристических ур-ний ( 7. 26 ). Аналогично можно получить общие алгоритмические выражения для ур-ний связи полярн и параметрич коор-т.