29. Логическое следование и логическая эквивалентность.

H(X1, X2…) называются логическим следствием формул F1(X1, X2…)…Fm(X1, X2…), если H(X1, X2…) превращает в истинное высказывание при всякой подстановке вместо её переменных Х1…Хn конкретных высказываний, при которой в истинные высказывания превращаются все формулы F1(X1, X2…)…Fm(X1, X2…).

F1…Fm (Посылка)= H (заключение)

Признаки логического следствия:

1. Формула H будет логическим следствием формулы F тогда и только тогда, когда FH – тавтология.

2. Для любого F1…Fm, H, m2 следующие устверждение равносильны:

   1. F1…Fm= H

   2. F1F2…Fm= H

   3. = (F1F2…Fm)

Теорема. Две формулы алгебры высказываний равносильны, если каждая из них является логическим следствием другой.

H = F

30. Логические эквивалентности. Доказательство

Логическая эквивалентность: два высказывания, α и β, являются логически эквивалентными, если они истинны в одном и том же множестве моделей. Это утверждение записывается как . Например, можно легко показать (с помощью истинностных таблиц), что высказывания  логически эквивалентны; другие эквивалентности приведены. Они играют в логике практически такую же роль, какую арифметические равенства играют в обычной математике. Альтернативное определение эквивалентности является следующим: для любых двух высказываний α и β  тогда и только тогда, когда 

31. Исчисление высказываний

Исчисление высказываний – это формальная система, позволяющая формировать новые высказывания путем указания исходных высказываний, имеющих значение «истина», а также аксиом и правил вывода, каждое из которых описывает, как формировать новое высказывание из исходных и уже построенных высказываний. Поэтому изучение исчисления высказываний следует начинать с1.1. Логика высказываний 43 определения аксиом и правил вывода, обеспечивающих доказательство истинности заключения.

Аксиома∗– это высказывание, имеющее значение истины при любых значениях пропозициональных переменных, входящих в это высказывание.

Правилом вывода называют такое отношение между высказываниями, которое позволяет из множества посылок и аксиом делать выводы об истинности заключения.

Доказательством или выводом называют такую линейно упорядоченную последовательность высказываний, каждое из которых является либо аксиомой, либо выводимо из одного или нескольких предыдущих высказываний.

Задание необходимого числа аксиом определяет полноту исчисления, а задание правил вывода – метод исчисления.

Метод дедуктивного вывода

Выводом формулы В из множества формул F1, F2,…, Fn называется такая последовательность формул, что любая Fi есть либо аксиома, либо выводима из множества предшествующих ей формул F1, F2,…, Fn. В этом случае формулу B называют заключением, а последовательность формул F1, F2,…, Fn, - схемой дедуктивного вывода.

Схему дедуктивного вывода записывают так:

F1, F2,…, Fn |⎯ B,

где «|⎯» означает «верно, что B выводима из F1, F2, …, Fn».

Вывод заключения опирается на два основных правила:

а) если F1 и (F1→F2 ) выводимые формулы, то F2 также выводимая формула → Это правило называют

modus ponens (m. p.) или прямое доказательство.

b) если ¬F2 и (F1→F2) выводимые формулы, то ¬F1

также выводимая формула

Это правило называют modus tollens