10. Правила подстановки и замены:

Правила подстановки: При подстановки формулы f вместо переменных x, подстановка должна быть выполнена во всех вхождениях переменных х в формулу.

x v ; f=a→b; a→b v ().

Правила замены: В булевой алгебре любую подформулу в формуле можно заменить на эквивалентную.

a→b= v b; ( v b) v ( v b) = ( v b) v (a ) = v b v a .

9.11Эквивалентность формул. Свойства элементарных булевых функций.

Формулы U,V называются эквивалентными ( U=V), если они реализуют равные функции.

Свойства:

Свойства констант:

2. Свойство двойного отрицания:

 

 (4.2)

3. Идемпотентность (отсутствие степеней и множителей):

 

а) х & х = х; б) х u х = х. (4.3)

4. Закон противоречия:

х &`х = 0. (4.4)

5. Закон «исключенного третьего»:

х u х = 1. (4.5)

6. Ассоциативность:

а) х₁ & (х₂ & х₃) = (х₁ & х₂) & х₃; б) х₁ u(х₂ u х₃) = (х₁ u х₂) u х₃. (4.6)

7. Коммутативность:

а) х₁ & х₂ = х₂ & х₁; б) х₁ u х₂ = х₂ u х₁. (4.7)

8. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

х₁ & (х₂ u х₃) = (х₁ & х₂) u (х₁ & х₃). (4.8)

9. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:

 х₁ u (х₂ & х₃) = (х₁ u х₂) & (х₁ u х₃). (4.9)

10. Правила де Моргана:

а) б) (4.10)

 

13. Замкнутые классы. Свойства замыкания.

Множество М логических ф-ий называется замкнутым классом, если для любой ф-ии f любая замена переменных не выводит эту ф-ию из мн.М.

1. ∀ f ∈ M;

2. любая суперпозиция ф-ии f_i ∈ M.

Всякая система ф-ий порождает некоторый замкнутый класс, а именно класс ф-ий, которые можно получить суперпозицией ф-ий этого класса.

Такая с-ма логических ф-ий обознакается так: F={f₁,f₂…f_n}

Замыканием с-мы ф-ий F(f[F]) будем называть все булевые ф-ии, которые реализуются формулами над множеством F.

Свойства замыканий:

1. F⊂ [F]

2. [[F]]=[F]

3. F₁⊂F₂=>[F₁] ⊂ [F₂]

4. [F₁] ∪ [F₂] ⊂ [F₁∪F₂]

Пример: множество всех дизъюнкций является замкнутым классом; множество линейных ф-ий также является замкнутым классом.

.14 Класс ф-ций сохраняющих 0 .

1)Т0 – класс бул. ф-ций сохраняющих 0: Т0 = {f| f(0,0...0)=0}

fT0 <=> f(0,…,0)=0.

входят: 0, x, x&y, xy.

невходят: 1, x, xy, , , .

Число ф-ций входящих в класс Т0 равно 2(2ⁿ)-1

Теорема: Класс Т0 – замкнут: [T0]=T0.

Для док-ва класса Т0 достаточно показать, что элементарная суперпозиция ф-ций из класса Т0 также принадлежат Т0:

пусть f0, f1, f2 …. fk e T0. Пострим суперпозицию этих функций:

Ф(x1,x2,…xn)=f0(f1(…),…fk(…))T0, т.е.

Ф(0,…,0)=f0(0,…,0)=0, что верно.

Поэтому [T0]=T0.

-----------------------------------------------

Позначимо через Т0 клас всіх булевських функцій f(x1, …, xn), що зберігають константу 0, тобто функцій, для яких f(0, …, 0)=0. Доведемо, що Т0 – замкнений клас. Оскільки він містить тотожню функцію, то достатньо показати, що функція ф=f(f1, …, fn) належить Т0, якщо f, f1, …, fn належать Т0. Останнє випливає з того, що:

Ф(0, …, 0)=f(f1(0, …, 0), …, fm(0, …, 0))=f(0, …, 0)=0.

15.Класс ф-ций сохраняющих 1 .

Т1 – класс бул. ф-ций сохраняющих 1: Т1 = {f| f(1,1...1)=1}

fT1 <=> f(1,…,1)=1.

входят: 1, x, x&y, xy, xy, xy.

Не входят: x, xy, xy, xy.

Теорема: Класс Т1 – замклут: [T1]=T1.

Для док-ва этого достаточно показать, что элементарная суперпозиция ф-ций из Т1 также принадлежит Т1. пусть f0, f1, f2 …. fk e T1. Пострим суперпозицию этих функций:

Ф(x1,x2,…xn)=f0(f1(…),…fk(…)), f0, f1,…,fkT1.

Ф(1,…,1)=f0(f1(1),…,fk(1))=f0(1,…,1)=1, т.е. ФТ1.

------------------------------------------------

Позначимо через Т1 клас всіх булевських функцій f(x1, …, xn), що зберігають константу 1, тобто функцій, для яких f(1, …, 1)=1. Доведемо, що Т1 – замкнений клас. Оскільки він містить тотожню функцію, то достатньо показати, що функція ф=f(f1, …, fn) належить Т1, якщо f, f1, …, fn належать Т1. Останнє випливає з того, що:

Ф(1, …, 1)=f(f1(1, …, 1), …, fm(1, …, 1))=f(1, …, 1)=1