1. Непрерывность функции нескольких переменных.

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n)  Rⁿ (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim x → a  f(x) = f(a).

Обозначим приращения аргументов символами Δx₁ = x₁ − a₁, Δx₂ = x₂ − a₂,  …, Δx_n = x_n − a_n. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx₁, Δx₂,  …, Δx_n}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

lim Δx → 0  Δu = 0.

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δx_k аргумента x_k.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется непрерывной в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) по переменной x_k , если

lim Δxk → 0  δxku = 0.

2. Свойства функции многих переменных.

-Область-множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

-Открытость- каждая точка принадлежит области вместе с некоторой окрестностью этой области.

-Связность- любые две точки можно соединить линией (непрерывной) целиком лежащей в этой области.

-точка Νо граничная точка области D если она не принадлежит D но в любой окрестности ее лежат точки этой области.Совокупность граничных точек oblasti D-есть граница D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью D.

Область называется ограниченной если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной.

3.Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной по   от функции   называется предел отношения частного приращения этой функции   по   к приращению  , когда последнее стремится к нулю:  .

Частной производной по   от функции   называется предел отношения частного приращения этой функции   по   к приращению  , когда последнее стремится к нулю:  .

Пусть задана функция   . Если аргументу   сообщить приращение  , а аргументу   – приращение  , то функция   получит приращение  , которое называется полным приращением функции и определяется формулой:  .

Функция  , полное приращение   которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно   и  , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно  ):  , где   и   стремятся к нулю, когда   и   стремятся к нулю (т.е. когда  ), называетсядифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно   и  ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается  :  , где   и   – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям   и  .

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных   их четыре:

4. Производная сложной функции. Полная производная функции нескольких переменных. Полный дифференциал сложной функции.

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! 

Полная производная

   Если z = F(x, y, u, v) и y = f (x), u = φ (x), v = ψ (x), то функция z = F(x, f (x), φ (x), ψ (x)) — является функцией одного переменного. В соответствии с (3) в этом случае имеем

.                        

Учитывая, что переменные y, u, v являются функциями одного переменного, получим окончательно формулу для вычисления полной производной

.                        

Полный дифференциал

Если функция z=f(x, y) дифференцируема, то ее полный дифференциал dz равен dz=A∆x+B∆y (1)

Замечая, что A=∂z/∂x, B=∂z/∂y, запишем формулу (1) в следующем виде

dz= ∂z/∂x*Δx+∂z/∂y*Δy

Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив

дифференциалы независимых переменных равными их приращениям: dx=∆x; dy=∆y.

После этого формула полного дифференциала функции примет вид

dz= ∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy

5.Производная от функции двух переменных, заданной неявно.

F(x,y)=0 (1)

Пусть функция у от х задана в неявном виде с помощью уравнения (1)

F (x,y); Fx’(x,y);Fy’(x,y)=D

(x,y)

Сама функция и ее частное производное являются непрерывными функции в некоторой области D содержащей точку М(х,у), координаты котрой удовлетворяют уравнению (1). Предполагается что в этой точке Fy’(x,y)≠0

Yx’=-

6) Производная от функции трех переменных заданных неявно.

Пусть функция задана в неявном виде с помощью уравнения F(x,y,z)=0. Если паре значений x и у из области D соответствует одно или несколько значений z , удовлетворяющих данному уравнению, то это уравнение неявно определяет одну или несколько функций z от x или y.

;

7) Частные производные различных порядков от функции нескольких переменных.

; ; - эти функции могут иметь частные производные второго порядка и определяются они так

;

;

;

;

8) Теорема о независимости результата дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования (доказательства в конспекте нет, но он вроде и не требовал)

Частные производные взятые по различным переменным называются смешанными частными производными. Если частные производные высшего непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования равны между собой.

9) Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

Необходимые условия:

Если функция z=f(x,y) имеет в точке М(Xo,Yo) экстремум, то каждая частная производная первого порядка от Z обращается в ноль при этих значениях аргумента (Xo и Yo) или не существует.

Достаточные условия:

Пусть в некоторой точке с координатой Xo и Yo эта функция имеет непрерывные частные производные до 3 порядка включительно и точка М с координатами (Xo,Yo) является стационарной.

Тогда при X=Xo, Y=Yo:

1. Δ=

- A

– C

– B

F(x,y)=max, если

2. F(x,y)=min, если

3. – не max и не min.

4. - экстремум может быть или не быть, требуется проведение доп. Исследований.

10) Условный экстремум функции нескольких переменных.

Условным экстремумом функции z=f(x,y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны между собой уравнением связи переменных. Описание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа – U=f(x,y)+λϕ(x,y), где λ – неопределенный постоянный множитель, тогда необходимое условие экстремума функции Лагранжа будет иметь следующий вид.