Часть I основы теории

Первая часть книги состоит из пяти глав. В главах I я 2 даны основные определения и теоремы, касающиеся соответственно неориентированных и ориентированных графов. В главе 3 продолжается развитие теории, причем основное внимание концентрируется на различных мето­дах разбиения и измерения расстояний в графах. В чет­вертой главе рассматриваются плоские графы и задачи раскраски, наиболее ярким примером которых является классическая проблема четырех красок. В главе 5 основ­ное внимание уделяется использованию алгебраических методов для исследования свойств графа с помощью «федставляющих его матриц.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ: НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ

1.1. Введение

В настоящей главе вводится понятие графа. Граф «■ределяется сначала как геометрическая структура, со- вязяшая из разбросанных в пространстве точек (вершин), соединенных системой кривых (ребер). В последующем Лается его определение в абстрактных терминах теории «зюжеств. Приводится основная терминология и вводят­ся обозначения, необходимые для описания локальных и глобальных структурных свойств графа. Таким образом, Лат а я глава, вместе со второй главой, в которой рас­сматриваются графы с ориентированными ребрами, дает ■вобжодимый словарь для описания графов. Чтобы

оживить чтение необходимого предварительного мате­риала, в главу включен ряд результатов, которые непо­средственно следуют из определений.

Учитывая, что в настоящее время в теории графов нет стандартной терминологии и обозначений, мы настоя­тельно советуем читателю изучить содержание этих двух глав до того, как он перейдет к последующему мате­риалу.

1.2. Геометрические графы

Прежде чем определить понятие графа в наиболее об­щей форме, рассмотрим класс графов, известных под названием геометрических графов. Это позволит с самого начала получить удобное, наглядное представление раз­личных понятий и структур, которые будут рассматри­ваться в дальнейшем. Ниже будет показано, что любой граф в абстрактном смысле эквивалентен (по отношению к свойствам, изучаемым в теории графов) некоторому гео­метрическому графу. Таким образом, геометрический граф можно рассматривать как удобное представление любых графов, а не просто как частный пример.

Обозначим n-мерное евклидово пространство через е^п. !(Далее при обсуждении результатов теорем 1.1 и 1.2 нас будут интересовать в основном двух- и трехмерные пространства.)

Евклидово n-мерное пространство есть множество последовательностей из- п действительных чисел х— — (х_и... ,х_п),в котором расстояние между любыми двумя точками х— (х_ь ..., х_п) и у= (у_и ■ ■ ■, Уп) определено следующим образом:

1/2

d (х, у)

2 (х*-уд^г 1=1

Простой незамкнутой кривой в пространстве е" назы­вается непрерывная, самонепересекающаяся кривая, соединяющая две различные точки в е^я (т. е. кривая, получаемая непрерывной деформацией прямолинейного отрезка).

Аналогично, простой замкнутой кривой называется непрерывная самонепересекающаяся кривая, конечные точки которой совпадают.

Геометрический граф в пространстве е^п есть множест­во V={v_t} точек пространства е" и множество Е—{е^ простых кривых, удовлетворяющих следующим усло­виям.

1. Каждая замкнутая кривая в Е содержит только вону точку v множества V.

2. Каждая незамкнутая кривая в Е содержит ровно щще точки множества V, которыё^являются ее граничны- ка точками.

3. Кривые в £ не имеют общих точек, за исключением точек из множества V.

Таким образом, геометрический граф есть просто геометрическая конфигурация или структура в прост­ранстве е", состоящая из множества точек, взаимосвя­занных множеством непрерывных, самонепересекающих- са кривых.

При некоторой идеализации многие известные струк­туры можно рассматривать как геометрические графы и изучать с помощью излагаемых ниже методов. Например, в виде графа можно представить систему автомобильных дорог, если пренебречь шириной последних, а пересече­ния считать точками. Далее будут приведены и другие примеры реальных структур, которые можно изобразить ш форме графа.

Обычная форма представления геометрического графа ■оказана на рис. 1.1. С позиций теории графов элементы

Рис. 1.1.

не называются геометрическими вершинами и геомет- jfumecKUMu ребрами соответственно. Введем теперь раз­личные описательные термины, которые составляют ос- шювой словарь теории графов. (Например, ребра ег и е₃ ■а рис. 1.1 называются параллельными, вершина v$ назы-

вается изолированной, вершины v₃ и г>₆ называются смежными и т. д.).

Предварительно дадим определение графа в более общем виде.