Часть I основы теории

Первая часть книги состоит из пяти глав. В главах I я 2 даны основные определения и теоремы, касающиеся соответственно неориентированных и ориентированных графов. В главе 3 продолжается развитие теории, причем основное внимание концентрируется на различных методах разбиения и измерения расстояний в графах. В четвертой главе рассматриваются плоские графы и задачи раскраски, наиболее ярким примером которых является классическая проблема четырех красок. В главе 5 основное внимание уделяется использованию алгебраических методов для исследования свойств графа с помощью представляющих его матриц.

Глава 1 основные понятия: неориентированные графы

1.1. Введение

В настоящей главе вводится понятие графа. Граф определяется сначала как геометрическая структура, состоящая из разбросанных в пространстве точек (вершин), соединенных системой кривых (ребер). В последующем дается его определение в абстрактных терминах теории множеств. Приводится основная терминология и вводятся обозначения, необходимые для описания локальных и глобальных структурных свойств графа. Таким образом, данная глава, вместе со второй главой, в которой рассматриваются графы с ориентированными ребрами, дает необходимый словарь для описания графов.

Чтобы оживить чтение необходимого предварительного материала, в главу включен ряд результатов, которые непосредственно следуют из определений.

Учитывая, что в настоящее время в теории графов нет стандартной терминологии и обозначений, мы настоятельно советуем читателю изучить содержание этих двух глав до того, как он перейдет к последующему материалу.

1.2. Геометрические графы

Прежде чем определить понятие графа в наиболее общей форме, рассмотрим класс графов, известных под названием геометрических графов. Это позволит с самого начала получить удобное, наглядное представление раз-личных понятий и структур, которые будут рассматриваться в дальнейшем. Ниже будет показано, что любой граф в абстрактном смысле эквивалентен (по отношению к свойствам, изучаемым в теории графов) некоторому гео-метрическому графу. Таким образом, геометрический граф можно рассматривать как удобное представление любых графов, а не просто как частный пример.

Обозначим n-мерное евклидово пространство через .

!(Далее при обсуждении результатов теорем 1.1 и 1.2 нас будут интересовать в основном двух- и трехмерные пространства.)

Евклидово n-мерное пространство есть множество последовательностей из n действительных чисел х=( ,…, ), в котором расстояние между любыми двумя точками х=( ,…, и у=( ,…, ) определено следующим образом:

d (x,y) = [ ]

Простой незамкнутой кривой в пространстве называется непрерывная, самонеперекающаяся кривая, соединяющая две различные точки в ( т.е. кривая, получаемая непрерывной деформацией прямолинейного отрезка).

Аналогично, простой замкнутой кривой называется непрерывная самонепересекающаяся кривая, конечные точки которой совпадают.

Геометрический граф в пространстве есть множество V = { } точек пространства и множество Е = { } простых кривых, удовлетворяющих следующим условиям.

1. Каждая замкнутая кривая в Е содержит только одну точку U множества V.

2. Каждая незамкнутая кривая в Е содержит ровно две точки множества V, которые являются ее граничными точками.

3. Кривые в Е не имеют общих точек, за исключением точек из множества V.

Таким образом, геометрический граф есть просто геометрическая конфигурация или структура в пространстве , состоящая из множества точек, взаимосвязанных множеством непрерывных, самонепересекающихся кривых

При некоторой идеализации многие известные структуры можно рассматривать как геометрические графы и изучать с помощью излагаемых ниже методов. Например, в виде графа можно представить систему автомобильных дорог, если пренебречь шириной последних, а пересечения считать точками. Далее будут приведены и другие примеры реальных структур, которые можно изобразить в форме графа.

Обычная форма представления геометрического графа показана на рис. 1.1. С позиций теории графов элементы

Рис 1.1.

не называются геометрическими вершинами и геометрическими ребрами соответственно. Введем теперь различные описательные термины, которые составляют основной словарь теории графов. (Например, ребра и на рис. 1.1 называются параллельными, вершина называется изолированной, вершины и называются смежными и т.д.).

Предварительно дадим определение графа в более общем виде.