Вопрос 2.

Скалярное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах

1. Определение. СП двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

( )= | | | (1)

Или: ( )= | | ПР или ( )= | | ПР

2. Геометрические св-ва:

Теорема1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство: 1) Необходимость. Пусть векторы ортогональны, Тогда cos = 0 и, в силу формулы ( )= 0

2)Достаточность. Пусть ( )= 0. Докажем, что векторы ортогональны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он ортогонален любому вектору.

Если векторы не нулевые, то | |>0, | |>0, поэтому из равенства ( )= | | | =0 вытекает, что cos =0, т.е. векторы ортогональны, ч.т.д.

Теорема 2. Два ненулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их СП положительно(отрицательно).

3. Алгебраические св-ва:

1. ( )= ( ) следует из ф-лы (1)

2. ((k ) )=k( ) следует из ((k ) )= | | ПР (k )=k| | ПР = k( )

3. ( ) = (

4. ( ) > 0 , если вектор ненулевой вектор, и ( ) = 0, если - нулевой вектор. Следует из | |=| |²

4. Выражение сп в дпк:

Если векторы заданы своими координатами {a₁,a₂,a₃} и {b₁, b₂ ,b₃}, то

= a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃. Тогда

= =

Доказательство?!

Векторы единичной длины, направленные вдоль осей координат обозначаются как – они образуют базис в пространстве.

{a₁,a₂,a₃}  a₁ a₂ a₃ - разложили вектор по базису

Вопрос 3.

Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах

1. Определение. ВП [ ] называется вектор такой, что:

а) равна S параллелограмма, построенного на векторах , т.е. = sin

б) вектор ортогонален к каждому из векторов ,

в) направлен таким образом, что кратчайший поворот от к осуществляется против часовой стрелки, если его рассматривать из конца

2. Геометрические св-ва вп.

Теорема1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их ВП.

Доказательство.

1)Необходимость вытекает из определения ВП.

2) Достаточность. Пусть [ ]=0. Докажем, что векторы коллинеарны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он коллинеарен любому вектору.

Если же оба вектора ненулевые, то | |>0, | |>0 и поэтому из равенства

[ ]= sin = 0 следует , что sin , , т.е. векторы коллинеарны, ч.т.д.

3. Алгебраические св-ва ВП:

4. Выражение ВП в ДКП.

Если векторы и заданы своими координатами

{a₁ a₂ a₃} и { b₁ b₂ b₃}, то их ВП имеет вид:

[ ] = = – +

Доказательство?!

Вопрос 4.

Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах.

1. Определение.

Смешанным произведением 3ех векторов называется выражение вида: .

2. Геометрический смысл:

модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах .

Объем пирамиды , построенной на векторах вычисляется как:

3. Выражение в ДПК

Если три вектора заданны своими координатами

{a₁ a₂ a₃} , { b₁ b₂ b₃} и {c₁, c₂ ,c₃}, то

=

Доказательство?!