Бинарные (двоичные) деревья

Рекурсивный тип данных, сложнее чем одномерные списки.

Задать с помощью функтора:

дерево(Элемент, Левое, Правое).

а

/ \

b d пусто

дерево(а, дерево(b, пусто, пусто), дерево(d, пусто, пусто)).

Логические программы эквивалентны логическим программам списков.

дерево(пусто).

дерево(дерево(Элемент, Лево, Право), дерево(Лево), дерево(Право)).

Примеры программ:

- Проверка на наличие элемента

часть_дерева(Х, дерево(Х, Лево, Право)).

часть_дерева(Х, дерево(Y, Лево, Право)):-часть_дерева(Х, Лево).

часть_дерева(Х, дерево(Y, Лево, Право)):-часть_дерева(Х, Право).

2 ветви дерева различны, но во многих приложениях это различие несущественно.

Изоморфизм деревьев: 2 двоичных дерева называются изоморфными, если D2 может быть получено из D1 изменением порядка ветвей поддеревьев.

- Замена

замена(Х,Y,пусто, пусто).

замена(X,Y,дерево(X,Лево,Право), дерево(Y,Лев1,Прав1):-замена(Х,Y,Лево,Лев1), замена(Х,Y,Право,Прав1).

замена(Х,Y,дерево(Z,Лево,Право), замена(Z,Лев1,Прав1):-Х≠Z, замена(X,Y,Лев,Лев1), замена(X,Y,Прав,Прав1).

- Обход дерева

Несколько вариантов:

*Обход дерева сверху-вниз: Сначала идет значение, находящееся на вершине, затем вершины Левого поддерева, а затем вершины правого поддерева.

*Обход дерева слева-направо: Сначала вершины Левого поддерева, потом вершина дерева, далее вершины правого поддерева.

снизу_вверх(дерево(Х,Л,П),Хs):-снизу_вверх(Л,Левые), снизу_вверх(П,Правые), append(Правые,[Х],П1), append(Левые,П1,Хs).

снизу_вверх(пусто,[ ]).

Работа с символьными выражениями

Полином от Х определяется индуктивно.

Сумма, разность и произведение полиномов от Х, результат возведения полинома в целую степень и деление полинома на const≠0 дают полином.

х-32 – полином.

Программа, распознающая многочлены от переменной х

ПОЛИНОМ(Х,Х).

ПОЛИНОМ(выражение,Х):-constant(выражение).

ПОЛИНОМ(выраж1+выраж2,Х):-ПОЛИНОМ(выраж1,Х), ПОЛИНОМ(выраж2,Х).

ПОЛИНОМ(выраж1-выраж2,Х):-ПОЛИНОМ(выраж1,Х), ПОЛИНОМ(выраж2,Х).

и т.д.

Дифференцирование

diff(sin(X),X,cos(X)). – пример

diff(X,X,1).

diff(X↑(N+1),X,(N+1)*X↑N).

diff(sin(X),X,cos(X)).

diff(cos(X),X,-sin(X)).

diff(e↑X,X,e↑X).

diff(log(X),X,e(X)).

diff(F+G,X,DF+DG):-diff(F,X,DF), diff(G,X,DG).

diff(F-G,X,DF-DG):-diff(F,X,DF), diff(G,X,DG).

diff(F*G,X,F*DG+DF*G):=diff(F,X,DF), diff(G,X,DG).

diff(1/F,X,-DF/(F*F)):-diff(F,X,DF).

diff(F/G,X,(G*DF-F*DG)/(G*G)):-diff(F,X,DF), diff(G,X,DG).

diff(U↑(N+1),X,(N+1)*U↑N*DU):-diff(U,X,DU).

diff(sin(U),X,cos(U)*DU):-diff(U,X,DU).

Булевские формулы – выражения, определяемые следующим образом: const – истина или ложь. Если Х,Y – булевские формулы, то XorY, X&Y,~X – булевские формулы.

Булевской формуле можно приписать истинность.

Х&Y=U (X=U, Y=U).

XorY=U (X or Y=U).

Истинность булевских формул

Булевская формула с переменными выполнима, если существует такие подстановки переменных, при которых формула истинна. Булевская формула опровержима, если существует ложный пример.

выполнима(Formula).

выполнима(истина).

выполнима(Х&Y):-выполнима(Х), выполнима(Y).

выполнима(ХorY):-выполнима(Х).

выполнима(XorY):-выполнима(Y).

выполнима(~Х):-опровержима(Х).

опровержима(ложь).

опровержима(ХorY):-опровержима(Х), опровержима(Y).

опровержима(Х&Y):-опровержима(Х).

опровержима(X&Y):-опровержима(Y).

опровержима(~Y):-выполнима(Y).