Министерство науки и образования РФ

Сибирский федеральный университет.

Филиал в г. Железногорске

Дисциплина: «Численные методы»

Лабораторная работа № 2

«Решение уравнений с одной переменной»

Выполнил:	Ст. гр. 271Ж	Ю.Ф. Дрожденикова
Проверил:	Профессор, д. ф-м. н.	В.П. Малый

Железногорск 2012

Оглавление

1 Цель работы 3

2 Ход работы 3

2.1 Пояснения к выполнению лабораторной работы 3

3 Задание 1 4

3.1 Краткая сводка теоретических сведений, необходимых для выполнения задания 1 4

Решение: 5

4 Задание 2 6

4.1 Краткая сводка теоретических сведений, необходимых для выполнения задания 2 6

Решение 7

5 Задание 3 8

1.1 Краткая сводка теоретических сведений, необходимых для выполнения задания 3 9

Решение 10

6 Вывод 12

7 Список источников информации 12

1. Цель работы

Изучить численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Ход работы

1. Пояснения к выполнению лабораторной работы

При выполнении задания 1 отделение корней заданного уравнения выполняется с помощью схематического графика на бумаге. Во многих случаях задачу графического отделения корня можно упростить, заменив исходное уравнение вида F(x)=0 равносильным ему уравнением.

Для решения этой же задачи с помощью компьютера сначала составляется и запускается программа отделения корней уравнения. Задание шага может варьироваться в зависимости от величины выбранного участка и характера поведения функции F(x).Результатом выполнения задания должен быть перечень отрезков, содержащих по одному корню уравнения. Затем отделение корней выполняется с помощью одного из инструментальных пакетов.

При выполнении задания 2 сначала уточняется один корень заданного уравнения по методу половинного деления с заданной точностью с помощью ручной расчетной таблицы и калькулятора. Если корней несколько, в пояснении заданию указано, на каком участке выбирается корень, подлежащий уравнению.

При выполнении задания 3 исходное уравнение приводится к виду x=F(x) таким образом, чтобы на выбранном для выполнения задания отрезке (а,b) функция F(x) удовлетворяла условию : существует такое число q, 0<q<1 ,что для любых x (a,b) имеет место .Приемы преобразования уравнения к итерационному виду и установление условий сходимости.

При выполнении задания 4 составляется и запускается программа вычисления одного корня заданного уравнения с точностью с использованием одного из методов Ньютона .

При выполнении задания 5 корень заданного уравнения вычисляется с использованием одного из инструментальных пакетов.

После выполнения заданий требуется сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.

3. Задание 1

Определите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом (схематически, на бумаге). Это же задание выполните с помощью программы для компьютера и с применением одного из инструментальных средств.

1. Краткая сводка теоретических сведений, необходимых для выполнения задания 1

Для графического отделения F1(x) и F2(x), а потом на оси Х отмечаются отрезки, локализирующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример:

Для графического отделения корней уравнения sin2x-ln=0 преобразуем его к равносильному уравнению sin2x=lnx и отдельно посмотрим графики функции sin2x и lnx

Для графика вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень и этот корень находится на отрезке [1;1.5].

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:

ГРАФИК

1.Если непрерывная на отрезке [а;b] функция F(x) принимает на его концах значение разных знаков, то уравнение имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень.

2. Если функция F(x) к тому же монотонна, то корень на отрезке [a,b] единственный.

Вычислим для проверки значение функции: F(x)=sin 2x-lnx на концах отрезка[1;1,5]: F(1)=0,909298; F(1,5)=-0,264344. Как видно, корень на отрезке [1;1,5] действительно имеется.

Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом. Так, в нашем примере имеем F(1,3)=0,253138>0, так что отрезком, на котором находится корень, можно считать [1,3;1,5].

В простейших случаях графическое отделение корней можно осуществить в ручную, однако более сложных случаях для исследования вопроса о наличии и количестве корней уравнения на заданном отрезке целесообразнее воспользоваться инструментальным пакетом или составить программу для компьютера на языке программирования. Рассмотрим коротко суть идеи для применения указанных подходов.

Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем известно что все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [A,B], на котором функция F(x) определена, непрерывной и F(A) F(B)<0. Требуется определить корни уравнения, т.е. указать все отрезки [a;b] [A;B], содержащие по одному корню.

Будем вычислять значения F(x), начиная с точки х=А, двигаясь вправо с некоторым шагом h.

Как только обнажится пара соседних значений F(x), имеющих разные знаки, и функция F(x) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента х предыдущее и следующие можно считать концами отрезка, содержащего корень.