14. Нелинейная регрессия. Линеаризируемые и нелинеаризируемые модели.Эластичность

Лин. регрессия явл. частным, и не самым распростр. случаем регрессии. Чаще строят нелин. модели. Например: с помощью гиперболы , полиномиал.: (чаще 2-ой степени, реже 3-ей) и т.д. Различают 2 класса нелин. регрессий:

1. Регрессии нелин. по аргументу (регрессору), но лин. по искомому пар-ру.

2. Регрессии нелин. по оцениваемым пар-ам.

Примерами 1-ого класса служат: полиномы различных степеней, гипербола и т.д.

2-ого класса: степенная функция, показательная, экспоненциальная.

1-ый класс реш. обычными методами МНК

Нелин. регрессии 2-ого класса подразделяются на линеаризируемые и нелианизируемые. К линеар. относят регрессии, кот.путем простых преобразований приводятся к лин. Например, – степенная, – показательная , - экспоненциальная и т.д.

Возможно наличие нелианиз. y_t=a+b^c+Xt, кот. никакими функцион. преобраз. не приводит к лин. Для оценки используют численные методы. оценка неизвестных параметров нелинейных регрессий первого класса решаются без сложностей методом наименьших квадратов. Наиболее просто они решаются для полиномиальных функций.

Использ. гиперболич. ф-ции – кривая Филипса. При b>0 получ. обратную зависимость, кот. при Х ∞ хар-ся нижней асимптотой, т.е. . b<0 получим медленно возраст. ф-цию при Х ∞, т.е. - кривая Энгеля.

Особый интерес предст. степенная ф-ия, т.к. b имеет четкий эконом. смысл, кот. наз. эластичностью, он показ. на сколько % в ср-ем изменится рез-т при изменении регрессора на 1%. В общем случае коэф-т эласт. для любых :

Э= . Напр, для степенной ф-ии Э=b.Для др.ф-ий он зависит от x.

Для лин.: Э= ; для параболы 2-ого порядка: Э= ; для гиперболы: Э= ; для показательной: Э= ; для полулогарифм( ): Э= ; для логист.: Э= ; для обратной( ): Э= .

Логистическая ф-ия: ;

15. Корреляция для нелинейной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.

Ур-ние нелин. регрессии, так же как и в лин. зав-ти, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R:

где σ²_общ — общая дисперсия результативного признака у; σ²_ост — остаточная дисперсия, т.к..

то индекс корреляции можно выразить как

Величина данного показателя находится в границах: 0<R<1, чем ближе к единице, тем теснее связь рассм-ых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Если нелинейное относительно регрессора урн-ие явл. лин. по искомым пар-м, то для оценки тесноты связи может быть использован лин. коэф-т корреляции для преобраз-ых данных и его величина совпадет с индексом корреляции R_yx = r_yz, где z преобразованная величина признака-фактора.

Обратимся для примера к гиперболе Ŷ_t=a+b/X_t, z_t=1/X_t, Ŷ_t=а+bz_t, для кот. может быть опр-н лин. коэф-т корреляции: r_YZ =bσ_z/σ_y или r²_YZ =b²σ²_z/σ²_y при этом

Если при переходе в лин. форму происходит изменение результирующей переменной, то коэф-т корриляции по преобраз. знач. дает приближ. оценку тесноты связи и не совпадает с индексом корриляции.

R² имеет тот же смысл, что и коэф-т детерминации . Он может использоваться для проверки существенности ур-ния регрессии в целом по F-критерию Фишера:

где R² — индекс детерминации; n — число наблюдений; m — число параметров при переменных х.

Если то возможна применение линейной регрессии. Если >0,1,то проводится оценка существенности и различия вычесленных по одним и тем же данным через t-критерий Стьюдента. , где S – ошибка модуля разности. . Если вычисленное значение t>t_кр, то различия м/у R² и r² cущественны. И замена невозможна. (t<2, то различия несущественны)

Средняя ошибка аппроксимации

Фактические знач. результативного признака отлич. от теор., рассчитанных по ур-ию регрессии, т.е. y_t и . Величина отклонений фактич. и расчетных знач. результативного признака ( ) по каждому наблюдению t представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности.

Для сравнения используются величины отклонений, выраж. в % к фактич. знач. Поскольку ( ) может быть как полож., так и отриц., то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в %-ах по модулю.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, опр-т ср. ошибку аппроксимации как ср. арифм. простую: