29. Общее алгоритмическое описание геодезических проекций
( 7. 24 )
Произведя возведение в степени выражений, стоящих в правых частях ( 7. 24 ), а затем воспользовавшись условием равенства комплексных выражений, когда равны их действительные и мнимые части, получаем следующие выражения для связи координат
,
( 7.
27 )
где Pj = P1P(j-1) – Q1Q(j-1); Qj = P1Q(j-1) + Q1P(j-1) при условии P0 = 1; Q0 = 0. Это гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. При этом имеем P1 = q; Q1 = l.
Вычислим производные, входящие в уравнения Коши – Римана ( 7. 10 ):
(
7. 28 )
Теперь выражения для частного масштаба длин и сближения меридианов принимают вид:
(
7. 29 )
Приведенные формулы работают в прямой задаче, когда по сфероидическим элементам требуется вычислить их образы на плоскости ( задача отображения поверхности эллипсоида на плоскости ). Если требуется решить обратную задачу, когда по элементам на плоскости проекции требуется вычислить соответствующие сфероидические элементы, берем за основу вторые уравнения из ( 7. 21 ) – ( 7. 26 ). В результате аналогично получим:
Для связи координат в обратном переходе получаем уравнения
;
( 7.
30 )
где P/ j = P/ 1P/ (j-1) – Q/ 1Q/ (j-1); Q/ j = P/ 1Q/ (j-1) + Q/ 1P/ (j-1) при условии P/ 0 = 1; Q/ 0 = 0. Это также гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Здесь следует иметь в виду также P/1 = x; Q/1 = y.
Для частного масштаба длин и сближения меридианов имеем также
(
7. 31 )
производные, входящие в уравнения Коши – Римана получают выражения
(
7. 32 )
Как видно из полученных выражений, они общие для любой из определенного нами класса геодезических проекций. Вид проекции определяется только коэффициентами характеристических уравнений ( 7. 26 ).
Аналогично можно получить общие алгоритмические выражения для уравнений связи полярн и параметрич координат.
30. Поперечно – цилиндрические проекции
В поперечно – цилиндрических геодезических проекциях ставится условие, чтобы длина дуги меридиана эллипсоида, принимаемого на плоскости проекции за осевой, изображалась без искажений ( в натуральную величину ), когда частный масштаб длин вдоль меридиана равен единице ( m0 = 1 ) – это проекция Гаусса – Крюгера, либо при условии m0 1= const – универсальная проекция Меркатора, известная как проекция UTM. Отсюда видно, что проекция UTM является обобщением проекции Гаусса – Крюгера.
Здесь
можем записать для уравнения из ( 7. 25 )
,
где (X0)эллипс. – длина дуги меридиана эллипсоида, отсчитанная от экватора до средней точки проекции с широтой В0. И первое уравнение из ( 7. 26 ) можем записать в виде
. (
7. 33 )
Производные в этом уравнении получаем следующим образом. Как известно, дифференциал дуги меридиана эллипсоида имеет выражение
,
откуда
и далее по правилу дифференцирования неявных функций
( 7. 34 )
Здесь
производную
получаем из ( 7. 18 ). Производная, вычисленная
по координатам начальной точки проекции,
имеет выражение
Далее действуем по известным правилам дифференциального исчисления, когда вторая производная вычисляется как производная от первой и т. д. В результате получаем
;
.
Последовательно
вычисляем необходимое число производных
и, следовательно, коэффициентов разложения
( 7. 33 ). При этом заметим, что в этом
разложении коэффициенты удовлетворяют
условию
.
вычисляем необходимое число производных и в результате получаем следующие выражения коэффициентов первого характеристического уравнения из ( 7. 26 ) для поперечно – цилиндрических проекций :
(
7. 35 )
Здесь используем ранее принятое обозначение 0 /2 = e/2cos2B0 , а в коэффициентах C5 и С6 по малости отброшены слагаемые с множителем 0 /4, а в коэффициентах С7 и С8 – с множителем 0 /2 .
Полагая значение m0 = 1, получаем проекцию Гаусса – Крюгера, а при m0 = 0. 9996 – проекцию UTM. Вообще говоря, варьируя значением m0, можно управлять распределением искажений длин в пределах изображаемой области. О том, как это делается, мы остановимся позднее.
Поперечно-цилиндрические проекции наиболее удобны для изображения на плоскости областей эллипсоида, вытянутых вдоль меридиана.