Распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Непрерывная величина  Х  распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

            (29)

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

           (30) Рис. 4. График плотности равномерного распределения

 

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина  Х  имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

          (31)

График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.

Рис. 5. График плотности показательного распределения

 

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина  Х  имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

            (32)

где m = M(X) , .

При    нормальное распределение называется стандартным.

График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.

Рис. 6. График плотности нормального распределения

 

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

Гамма-распределение. Случайная величина  Х  имеет гамма-распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

              (33)

где     – гамма-функция Эйлера. 

Основные свойства гамма-функции:

Параметры  – любые положительные числа. Гамма-распределение является также распределением Пирсона типа III [3]. При гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром λ, так как Г(1) = 1. Гамма-распределение широко используется в математической статистике. Hа рис. 7 представлены графики плотности гамма-распределения (33) при  .

Рис. 7. Графики плотности гамма-распределения

Системы случайных величин

Существенный интерес в математической статистике представляет рассмотрение системы двух и более случайных величин и их статистическая взаимосвязь друг с другом.

По аналогии с рядом распределения одной дискретной величины Х для двух дискретных случайных величин  X и Y строится матрица распределения – прямоугольная таблица, в которой записаны все вероятности  pi j = P{ X = xi , Y = yj } , i = 1, … , n;   j = 1,…, m.

События (или опыты) называются независимыми, если вероятность появления (исхода) каждого из них не зависит от того, какие события (исходы) имели место в других случаях (опытах).

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события: например, {X < а} и {Y < b} или {X = xi} и {Y = yi} и т.д.

В терминах законов распределения справедливо также следующее определение: две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от принятого значения другой. 

Совместной функцией распределения системы двух случайных величин ( X, Y ) называется вероятность совместного выполнения неравенств X < х и Y < у :

             (34)

Событие означает произведение (совместное выполнение) событий {X < х} и {Y < у}. Геометрической интерпретацией совместной функции распределения F ( x, y) является вероятность попадания случайной точки ( X, Y ) на плоскости внутрь бесконечного квадранта с вершиной в точке (x, y) (заштрихованная область на рис. 8).

  

Рис. 8. Геометрическая интерпретация совместной функции распределения F(x, y)

Основные свойства совместной функции распределения:

           (35)

Здесь

Система двух случайных величин ( X, Y ) называется непрерывной, если ее совместная функция распределения F (x, y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому аргументу, у которой существует вторая смешанная частная производная . Обе случайные величины X и Y – непрерывны. Тогда функция

           (36)

называется совместной плотностью распределения системы двух случайных величин ( X, Y ).

Основные свойства совместной плотности распределения:

              (37)

В качестве числовых характеристик системы двух случайных величин X и Y обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков.  Порядком момента называется сумма его индексов k + s.

Начальным моментом порядка  k + s системы двух случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения X k на Y s :

             (38)

Центральным моментом порядка  k + s системы двух случайных величин ( X, Y ) называется  математическое ожидание произведения (X–mx )k на  (Y–my )s :

            (39)

где  mx = М (Х),  my = М (Y).

Для системы дискретных случайных величин X и Y :

           (40)

           (41)

где  рi j = Р { Х =xi , Y = yj }.

Для системы непрерывных случайных величин X и Y :

             (42)

               (43)

где  f ( x, y ) – совместная плотность распределения случайных величин X и Y.

В инженерных приложениях математической статистики чаще всего используются моменты первого и второго порядков.

Начальные моменты первого порядка

            (44)

являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y.

Центральные моменты первого порядка всегда равны нулю:

          (45)

Начальные моменты второго порядка:

             (46)

Центральные моменты второго порядка:

             (47)

Здесь Dx , Dy – дисперсии случайных величин X и Y.

Центральный момент второго порядка  называется ковариацией случайных величин X и Y. Обозначим его :

.            (48)

Из определения ковариации (48) следует:

           (49)

Дисперсия случайной величины является по существу частным случаем ковариации:

           (50)

По определению ковариации (48) получим:

            (51)

Ковариация двух случайных величин X и Y характеризует степень их зависимости и меру рассеивания вокруг точки . Часто бывает удобно выразить ковариацию в виде:

           (52)

Выражение (52) вытекает из определения ковариации (48).

Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин X и Y.

Безразмерная величина, характеризующая только зависимость случайных величин X и Y, а не разброс:

           (53)

называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y. Этот параметр характеризует степень линейной зависимости случайных

величин X и Y. Для любых двух случайных величин X и Y  коэффициент корреляции . Если , то линейная зависимость между X и Y возрастающая, если , то линейная зависимость междуX и Y убывающая, при  линейной зависимости между X и Y нет. При  случайные величины X и Y  называются коррелированными, при – некоррелированными. Отсутствие линейной корреляции не означает отсутствие любой другой зависимости между X и Y. Если имеет место жесткая линейная зависимость Y = aX+ b , то  при а > 0 и  при а < 0.