§6. Роль классической механики в квантовой механике

Два момента присутствия классической механики в квантовой механике:

1. Измерение микросистем (квантово-механических систем) проводятся с помощью классических приборов (систем).

2. Принцип соответствия – переход квантово-механических результатов в классическую механику (  0, можно ввести такую величину размерности действия A, что ). По Эйнштейну этот переход характеризуется . Если , то переход в классическую механику Ньютона.

[§7.] Волновая функция и ее свойства

Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.

т. е. и описывает одно и тоже состояние, где - фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точки не нормируема.

- элементарный объем

- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале . Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.

[§8.] Принцип суперпозиции состояний

Если мы имеем состояния системы, описываемые функциями , то суперпозиции этих функций также отвечает некоторое состояние этой системы:

Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется функция должны быть линейными. Этот же вывод распространяется и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.

§12. Среднее значение измеряемой величины

По определению

(12.1)

Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора :

(12.2)

По равенству Парсеваля .

Т.к. оператор линейный, то его можно занести под знак суммы:

(12.3)

Подставляя (12.3) в числитель, а (12.2) в знаменатель для (12.1), имеем

Из теории вероятности , где - вероятность получения , тогда

§13. Вероятность результатов измерения

Пусть - вероятность того, что при измерении величины для системы, находящейся в состоянии мы получим результат . Если система находится в состоянии , то величина при измерении выходит с вероятностью равной 1:

В общем случае;

Если полная производная оператора удовлетворяет равенству

,

то собственная функция оператора _{описывает состояние системы.}

Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежит в интервале от до , определяется следующим выражением:

, (13.1)

_{или плотность вероятности}