7. Закон распределения и функц. Распред. Дискретной случ. Величины

Опр.5. Любое правило (таблица ф-ий и т.д.), позволяющее находить вер-ть всех возможных событий, связанных со случайной величиной, наз-ся законом распределения случ. вел-ны.

Опр.6. 2 случайные вел-ны наз-ся независимыми, если зак-н распределения одной их них не зависит от того, как распределена другая. В противоположном случае говорят, что они зависимы.

Для дискретной случ. вел-ны рядом распределения наз-ся закон распределения этой вел-на в виде таблицы. В верхней части расположены все значения, кот-ые м. принимать случ-я вел-на (в порядке возрастания), а в нижней ­– соответсвующая им вероятность.

				…
				…

Pi=P{X=xi}

События несовместны и образуют полную группу несовм-х соб-ий.

Опр.7 Функцией распределения случ. вел-ны Х наз-ся вер-ть того, что случ. вел-на Х примет значение меньшее заданного

F(X)=P{X<x},

Свойства ф-ии распределения

1) Ф-ия распределения F(X) неубывающая для ф-ии своего аргумента (т.е. для любых х1, х2: х1<х2 F(x1) F(x2))

Док-во: возьмём 2 произвольные точки х1и х2:

П усть С={X<x2}. А={X<x1}. B={x1 X<x2}. C=A+B

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)

F(x2)= F(x1)+P{x1 X<x2}, где P{x1 X<x2} 0 по опред-ю вер-ти

2) Значение ф-ии распределения стремится к 0 при х–> ­­–­ и предел ф-ии распределения = 1.

3) Функция распределения непрерывна слева.

Значение ф-ии распределения для случ. вел-ны:

Графический ряд распределения изображается в виде ломаной, кот-я наз-ся многоугольником распределения.

8.Математических ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(x) = ∑ⁿ_i=1 x_i∙p_i = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_np_n.Если дискретная случайная величина принимает счётное множество возможных значений, то математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равна самой постоянной: М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С∙М(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁Х₂…Х_n) = M(X₁)∙M(X₂)∙…∙M(X_n).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁+Х₂+…+Х_n) = M(X₁) + M(X₂) +…+ M(X_n).

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Опр.9. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = ∑ⁿ_i=1 (x_i – M(x))²p_i = M(x²) - M²(x).

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю: D(С) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(С∙Х) = С²∙D(Х).

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁+Х₂+…+Х_n) = D(X₁) + D(X₂) +…+ D(X_n).