1 Перестановки: Pn = n! , n! = 1∙2∙3∙…∙n. отличаются только порядком их расположения

Размещение: Amn = n!/(n-m)! = n(n–1)(n–2)…(n–m+1). отличаются либо составом элементов, либо их порядком (Порядок важен)

Сочетание: Cmn = n! / (m! (n-m)!). отличаются хотя бы одним элементом (Порядок не важен)

Amn = Pm ∙ Cmn

Перестановки с повторением: Pn (n1, n2, …) = n! / (n1! n2! …),где n1 + n2 + … = n.

2.Классическое опр. вероятностей Элем-ные соб-ия, при кот-х данное интересующее нас событие наступает, наз-ся благоприятными.

Для полной группы равновозможных и попарнонесовместных событий вер-ть соб. А наз-ся отношение числа m благоприятных элементарных событий к общему числу всех возможных элем-ных событий n в данном опыте P(A) = m / n

Классическая вероятность: элементарный исход, события, конечная схема, определения, примеры. Вероятность и частота.

Определение вероятности

Пусть некоторый эксперимент имеет N элементарных исходов. Будем считать, что исходы не совместны, т.е. в результате конкретного эксперимента происходит только 1 элемент. исход. Элемент. исходы равновозможны. Тогда припишем каждому элементарному исходу число 1/N. Любое подмножество множества Ω = {w1,…wN}. Всякое элементарное событие содержится в некотором событии А назовем благоприятным событию А.

Определение

Пусть m — число элементарных исходов, благоприятных событию А. Тогда классич. вероятность события А = m/N. Обозначается как Р(А) = m/N.

Пример1

Игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет 5 или 6.

Событие А = {5 или 6}

N = 6

Р(А) = 1/3 (2 из 6-ти возможных).

Относительная частота события А определяется равенством W(A) = m/n, где m — число испытаний, в которых событие А наступило, а n — общее число произведенных испытаний.

Вероятность и частота.

Статистический подход.

Проводим эксперимент n раз и фиксируем, произошло или нет в рез-те событие А. Пусть оно произошло k раз, тогда k/n – частота события А (для больших n близко к постоянной величине). Если отклонение k/n от этой постоянной величины с ростом n уменьшается,- устойчивость частот. Впервые это заметили, изучая демографические вопросы: % смертности в опред. возрасте для опред-х групп населения. Были попытки построить теорию, принимая за вероятность частоту события, но возникли сложности.

3. Геометрическая вероятность.

Постановка задачи: пусть G – огранич. плоская область с конечной площадью. В эт. области содержится обл. g облад-щая те-ми же св-ми. В обл. G наугад бросается точка, она может попасть в любое место обл-ти G (рис.1). Вер-ть точки попасть в g пропорциональна отношению площадей G и g и не зависит от ее формы и расположения. Т.о. вер-ть попадан. в обл. g точки, брош. в обл. G наудачу, =, по опред.: Р=S(g)/S(G), S(g) и S(G) – площ. g и G в общем виде S(g) и S(G) – меры множеств g и G.

Задача о встрече: Два лица А и В условились встретиться м/у 12 и часом дня. Пришедший первым ждёт 20 минут и уходит. Какова вероятность встречи, если приход каждого в течен. часа мож. произойти наудачу и моменты прихода А и В независимы. Решение: обозначим момент прихода А через х, а В – у. Изобразим х и у как декарт. коорд-ты, единиц. масшт. – 1 мин. (рис.2). Всевозможн. исходы можн. изобразить ввиде пар (х, у) – т. квадрата со стороной 60. Встр. состоится, если x – y ≤20 (заштрих. обл.). Область G =60 ², g = 60 ² - 2*0,5*(40*40) = 60²- 40², p = (60²- 40²) / 60²= 5 / 9.

4. Теоремы сложения и умножения вер-тей

Теорема сложения вер-тей: Вер-ть суммы 2-х совместных соб-ий = вер-ти суммы этих событий минус вер-ть их пересечений АВ => P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Док-во: А+В=А +AB+B

А , AB, B – попарно несовместны => Р(А+В)=Р(А )+Р(В )+Р(АВ).

Выразим через А,В,АВ:

А= А +АВ

B=B +AB

Р(А)=Р(А +АВ)

Р(В)= B +AB =>

Р(B )=P(B)–P(AB)

P(А )=P(A)–P(AB)

подставляем в Р(А+В): Р(А+В)= P(A)–P(AB)+P(B)–P(AB)+Р(АВ)= P(A)–P(AB)+P(B). Теорема доказана

Теорема умножения вероятностей: Вер-ть совместного появления двух событий равна произведению вер-ти одного из них на условную вер-ть другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:P(AB) = P(A) ∙ P_A(B).Для независимых событий:P(AB) = P(A) ∙ P(B), т.е. вер-ть совместного появления двух независимых событий равна произведению вер-тей этих событий.

5. Формула полной вероятности: Вер-ть события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … , В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вер-тей каждой из гипотез на соответствующую условную вер-ть события А:P(A) = P(B₁) ∙ P_B1(A) + P(B₂) ∙ P_B2(A) + … + P(B_n) ∙ P_Bn(A), где P(B₁) + P(B₂) + … + P(B_n) = 1.

Формула Бейеса: Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … , В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вер-ти гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса: P_A(B_i) = P(B_i) ∙ P_B1(A) / P(A) (i = 1, 2, … , n), где P(A) = P(B₁) ∙ P_B1(A) + P(B₂) ∙ P_B2(A) + … + P(B_n) ∙ P_Bn(A).

6. Формула Бернулли: P_n(m) = C^m_np^mq^n–m, где n – число опытов в одинаковых условиях, m – число опытов, в которых произошло событие А, р – вероятность события А при каждом испытании, q = 1 – p.

Функция распределения: F(x) = P(X < x) = ∑ _xi<x p(x_i).