6. Интегралы вида .
Тригонометрические формулы
sin
α cos β=
[sin (α + β) + sin (α — β)], (1)
cos α cos β = = [cos (α + β) + cos (α — β)], (2)
sin α sin β= [cos (α— β) —cos(α + β)] (3)
дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.
1487. Найти интеграл .
Решение. Используя формулу (1), получим
1488. Найти интеграл .
Решение. Применим к произведению cos x cos(x/2) - формулу (2):
Снова используя ту же формулу, находим
Найти интегралы:
1489.
1490.
1491.
1492.
Указание: положить ctgx=t.
1493.
1494.
1495.
1496.
1497.
1498.
1499.
1500.
1501.
1502.
1503.
1504.
1505.
7.
Тригонометрические подстановки.
Интегралы вида
приводятся
к интегралам от рациональной относительно
sin
t
и cos
t
функции с помощью надлежащей
тригонометрической подстановки: для
первого интеграла x=a
sin
t
(или x=a
cos
t),
для второго x=a
tg
t
(или x=ctg
t)
и для третьего x=a
sec
t
(или x=acosect).
1506. Найти интеграл
Решение. Положим x=a sin t, тогда dx=a cos t dt и заданный интеграл примет вид:
Для
нахождения интеграла
мы
воспользовались формулой
,
так как с ее помощью легче перейти к
прежней переменной x.
Таким образом, получаем
где
sin
t
= x/a,
.
Следовательно,
1507. Найти интеграл
Решение. Примерим подстановку x=a tg t , откуда dx=a sec2 t dt. Тогда получим
где
tg
t=x/a
и, следовательно, ctg
t=a/x,
Итак
1508. Найти интеграл
Решение. Применим подстановку х = a sec t, откуда dx = a sec t tg t dt. Тогда получим
Далее применим рекуррентную формулу (1) п. 5 при n=1:
где
.
Следовательно
Найти интегралы:
1509.
1510.
1511.
§ 5. Интегрирование разных функций
Найти интегралы:
1512.
.
1513
.
1514.
.
1515.
.
1516.
1517.
1518.
1519.
1520.
1521.
1522.
1523.
1524.
1525.
1526.
1527.
1528.
1529.
1530.
1531.
1532.
1533.
1534.
1535.
1536.
1537.
Глава X определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла
Пусть
функция f(х)
определена
на отрезке [а,b].
Разделим
отрезок [а,
b]
на
п
произвольных
частей точками а
= х0
<
х1
< x2
< ... < хп-1
< хп
=
b,
выберем на каждом элементарном отрезке
[xk-1,
xk]
произвольную точку ξk
и найдем длину каждого такого отрезка:
.
Интегральной
суммой для
функции f(x)
на отрезке [a,
b]
называется сумма вида
,причем
эта сумма имеет конечный предел I,
если
для каждого ε>0 найдется такое число
δ>0, что при мах
∆xk<
δ неравенство
|σ-I|<
ε выполняется
при любом выборе чисел ξk.
Определенным интегралом or функции f (х) на отрезке [а, b] (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (мах ∆xk) стремится к нулю:
Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, b] на элементарные и от выбора точек ξk. (теорема существования определенного интеграла).
Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Если
f(x)>0
на [а,b],
то
определенный интеграл
геометрически
представляет
собой площадь криволинейной
трапеции —
фигуры, ограниченной линиями y
= f(x),
x
= a,
х = b,
у = 0 (рис.
42).
Рис. 42
Основные свойства определенного интеграла
1°.
2°.
3°.
4°.
5°.
,
где
С- постоянная
6°.
Оценка
определенного интеграла: если
на [a,
b],
то
m(b-a)< <M(b-a)
Правила вычисления определенных интегралов
1. Формула Ньютона — Лейбница:
где F (х) — первообразная для f(x), т. е. F'(x)=f(x).
2. Интегрирование по частям:
где и = и(х), v = v (х) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а, b].
3. Замена переменной:
где
x=φ(t)
—
функция, непрерывная вместе со своей
производной φ
' (t)
на
отрезке
,
a=φ(α),
b=
φ(β),
f[φ(t)]—
функция,
непрерывная на [α,
β].
4. Если f(х) — нечетная функция, т. е. f(- х) =-f (х), то
Если f(х) — четная функция, т. е. f(- x)=f(x), то
1538.
Вычислить
интеграл
,
как
предел интегральной суммы.
Решение.
Здесь f(x)
= x2,
а = 0, b
= 1;
разделим отрезок [0,
1]
на n
равных частей, тогда
,
выберем ξk
=xk.
Имеем:
;
Следовательно,
Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел.
1539.
Вычислить
по формуле Ньютона — Лейбница.
Решение.
1540.
Оценить
интеграл
Решение.
Так как |cos
x|≤1,
то при x>10
получим неравенство
<10-2.
Следовательно,
<8*10-2<10-1,
т. е.
<0,1
1541.
Оценить
интеграл
Решение.
Поскольку
,
имеем
и
1542.
Вычислить
.
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv = e-xdx, откуда du = dx, v = — е-x. Тогда
1543.
Вычислить
Решение. Положим ln x=t, тогда (dx)/x=dt, если x=1, то t=0; если x=e, то t=1
Следовательно,
1544.
Вычислить
Решение. Положим x = r sin t; тогда dx = r cos t dt; если x = 0, то t=0; если х = r, то t = π/2. Поэтому
1545.
Вычислить
Решение.
Подынтегральная функция — четная, а
потому
Интегрируем
по частям, полагая и
= х,
;
тогда du
= dx,
v
=1/cosx
Отсюда находим
Следовательно,
1546.
Вычислить
.
Решение. Подынтегральная функция—нечетная, следовательно, I= 0.
1547.
Вычислить
как
предел интегральной суммы.
1548.
Вычислить
как
предел интегральной суммы.
1549.
Оценить интеграл
.
1550.
Оценить интеграл
.
1551.
Оценить
интеграл
.
Вычислить интегралы:
1552.
1553.
1554.
1555.
1556.
1557.
1558.
1559.
1560.
1561.
1562.
1563.
1564.
Указание: использовать свойство нечетной функции.
1565.
Указание: использовать свойство четной функции.
1566. Доказать, что
(m и n —целые положительные числа).