§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов

Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе раз­ложения в степенные ряды функций e^x, shx, chx, sinx, cosx, (1+x)^m, ln(1+x), arctgx.

Для вычисления логарифмов эффективна формула

Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t .

Для вычисления приближенного значения функции f(х) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые п членов (п-—конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного прибли­женного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравни­вают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знако­переменного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, исполь­зуется оценка < где — первый из отброшенных членов ряда.

403. Оценить погрешность приближенного равенства

0 < x < n+1

∆ Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после х^п/п! в разложении е^х:

или

Заменив каждый из сомножителей n+2, n+3, n+4, ... меньшей вели­чиной n+1, получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад­ратных скобках:

т.е. ▲

404. Вычислить с точностью до 0,00001.

∆ Используя разложение е^х в ряд, получаем

Определим число n так, чтобы погрешность приближенного равенства

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в преды­дущем, примере. Полагаем х=1/2; тогда

т.е.

Путем подбора определим, при каком значении п будет выполняться неравенство R_п<0,00001. Полагая, например, n= 3, получаем R₃ < 1/(8·6·7), т. е. R₃ < 1/336. Пусть, далее, n = 5; отсюда R₅ < 1/(32·120·11), т. е. R₅< 1/42240. Пусть, наконец, n= 6; отсюда R₆ < 1/(64·720·13), т. е. R₆ < 1/100000. Итак, принимаем п = 6:

.

Суммируем слагаемые:

1,000000

0,500000

0,125000

+0,020833 (в 6 раз меньше предыдущего слагаемого) 0,002604 (« 8 « « « « )

0,000260 (« 10 « « « « )

0.000022 (« 12 « « « « )

.

Значит, Каждое слагаемое мы вычислили с точностью до 0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышаю­щей 0,00001.

405. Вычислить с точностью до 0,00001. ∆ Имеем

Воспользуемся приближенным равенством

Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет усло­виям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен 1/(5!5⁵). Нетрудно видеть, что 1/(5!5⁵) < 0,00001.

Произведя вычисления, в результате получаем . ▲

406. Пользуясь разложением соsx в ряд, вычислить соs 18° с точностью до 0,0001.

∆ Имеем

соs 18°= ;

Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)-(π/10)⁶ < 0,0001. Тогда

. ▲

407. Вычислить с точностью до 0,0001.

∆ Воспользуемся разложением (1+x)^m в ряд, полагая x = 0,1, m=1/5.

Имеем

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак, ▲

408. Вычислить с точностью до 0,001.

∆ Так как 5³ является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: 130 = 5³ + 5. Тогда

Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, 5 + 0,0667—0,0009, т. е. 5,066. ▲

409. Вычислить ln1,04 с точностью до 0,0001. ∆ Воспользуемся разложением ln(1+x) в ряд:

или

откуда ln1,04≈ 0,0392. ▲

409. В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см. Определить острый угол треугольника, лежащий против мень­шего катета, с точностью до 0,001 радиана.

∆ Так как tgα=1/5, то α=arctg(1,5). Воспользуемся разложением

откуда α ≈ 0,2—0,0027, т. е. α ≈ 0,197. ▲

411. Оценить погрешность приближенного равенства

∆ Задача сводится к оценке суммы остатка ряда

Заменив каждый из множителей 2n+З, 2n + 5, 2n+7, ... меньшим числом 2n+1, получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад­ратных скобках:

т.е. ▲

412. Вычислить ln2 с точностью до 0,0001.

∆ В формуле для определения ln(t + 1) и неравенстве для оценки R_п полагаем t= 1:

Путем подбора определим п так, чтобы выполнялось неравенство R_n<0,0001. Если n= 2, то R₂ < 1/(4∙5∙3³); R₂ < 1/540; если n = 3, то R₃ < 1(4∙7∙3⁵); R₃ < 1/6804; если n= 4, то R₄ < 1/(4∙9∙3⁷); R₄ < 1/10000.

Итак, n = 4 и для вычисления ln 2 получаем приближенное равенство

Суммируя эти четыре слагаемых, получим

ln2 ≈ 0,66667 + 0,02469+0,00165+0,00013 = 0,69314≈ 0,6931. ▲

413. Вычислить ln5 с точностью до 0,0001. ∆ Полагаем t= 4. Тогда

Если n=1, то R₁<1/(40∙3∙9³); R₁< 1/1080; если n= 2, то R₂< < 1/(40∙5∙9³); R₂ < 1/10000. Значит, достаточно взять два члена ряда. Сле­довательно,

ln5 ≈ 2ln2+2 1,38628+0,22222+0,00090=1,60940. ▲

414. Доказать справедливость тождества π/4 = агсtg (1/2)+ агсtg(1/3) и вычислить π с точностью до 0,001.

∆ Полагая в равенстве

x=1/2, y=1/3, получаем

или π = 4 ( ).

Воспользовавшись разложением arctg х в ряд, имеем

π = 4

Выполняя вычисления, находим π = 3,1416.

Для вычисления числа π можно было воспользоваться рядами, которые сходятся быстрее, чем только что приведенные. ▲

Вычислить:

415. е с точностью до 0,00001.

415. с точностью до 0,00001.

416. sin9°C с точностью до 0,0001.

417. сh О,3 с точностью до 0,0001.

418. точностью до 0,0001.

419. с точностью до 0,001.

420. ln 0,98 с точностью до 0,0001.

421. ln 1,1 с точностью до 0,0001.

422. ln З с точностью до 0,0001.

423. ln 10 с точностью до 0,0001.

424. Найти наименьшее положительное значение х, удовлетворяющее тригонометрическому уравнению 2sinх—соsx=0.

425. Вычислить π с точностью до 0,001, полагая x= в разложении аrctg х.