
- •3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •4. Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле
- •5. Определение интеграла его свойства
- •Свойства интеграла
- •6. Механический и геометрический смысл определенного интеграла
- •7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •8.Интегрирование рациональных дробей
- •9.Интеграл простейших рациональных дробей
- •10. Интегрирование иррациональных функций
- •14. Объем тела вращения его вычисления
- •15. Дифференциальное уравнение основные понятия
- •17. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
- •18. Понижение порядка дифференциального уравненияI. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую
- •22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •20. Линейные уравнения второго порядка
- •21. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •23.Функции нескольких переменных, линия уровня функции двух переменных Функции нескольких переменных
- •Линия уровня функции двух переменных
- •24. Частнные производные функции двух переменных
- •25. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных
- •Связь полного приращения фнп с ее полным дифференциалом
- •Достаточное условие дифференцируемости фнп
- •Приложения полного дифференциала фнп
- •29. Экстремумы функции двух переменных
- •30. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
25. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФНП
Полным
приращением функции двух переменных
в
точке
называется
выражение
.Предположим,
что в точке
и
некоторой ее окрестности функция z = f(x,y)
имеет непрерывные частные производные
первого порядка
и
.
Выразим через них полное приращение
:
(1)
где
заключено
между
и
,
заключено
между
и
,
рис. 11.
Так как по предположению частные производные непрерывны, то:
(по
связи функции, её предела и бесконечно
малой), где 1 и 2 –
бесконечно малые при х0
и у0,
то есть при
.
Таким
образом, полное приращение
функции
выразилось
следующим образом:
(2)
Каждое
из слагаемых ΙΙ является б.м. более
высокого порядка малости относительно
.
Действительно,
при
.
Аналогично
+
при
.
Ι слагаемое – линейное относительно x и y, оно является главной частью полного приращения z.
|
Связь полного приращения фнп с ее полным дифференциалом
(4)
При
малых значениях приращений
аргументов
и
справедливо
приближенное равенство:
,
погрешность
которого
. (5)
По аналогии с функцией одной переменной считается, что приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами:
х=dx, y=dy,
поэтому формулу (3) для полного дифференциала функции
Для функции n независимых переменных А = А(a1,a2,…,an) формула для полного дифференциала имеет вид:
.
При
этом
с
погрешностью
,
где
.
Достаточное условие дифференцируемости фнп
Если функция нескольких переменных имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой точке своей ООФ, то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.
Замечание
Наряду с полным дифференциалом ФНП часто рассматривают также ее частные дифференциалы:
если
,
то
.
Очевидно, что полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов:
для
.
Примеры (нахождения полного дифференциала ФНП)
1.
Решение
.
Приложения полного дифференциала фнп
Полный дифференциал ФНП и его связь с полным приращением этой функции применяется, например:
1) для приближенного вычисления значения ФНП,
2) для вычисления погрешности ФНП, если известны погрешности ее аргументов.
Рассмотрим подробнее эти приложения.
1. Пусть
требуется вычислить значение ФНП
в
некоторой точке
,
при этом значение функции в точке
считается
легко. Тогда
,
где
-
это полное приращение функции u в
точке
,
вызванное приращениями всех
ее аргументов
.
Так как для дифференцируемых ФНП можно
считать, что
,
то получается приближенная формула:
(7)
где
,
погрешность
.
Примеры (приближенного вычисления значений ФНП)
1.
Решение
Погрешность
счета
.
Ответ:
.
2. Вычисление погрешностей
Пусть
требуется вычислить абсолютную и
относительную погрешности значения
функции
в
точке
,
если значения ее аргументов x и yизмерены
или вычислены с погрешностями
и
.
Абсолютная погрешность обозначается и вычисляется как модуль разности приближенного и точного значений u с последующей заменой полного приращения функции u на ее полный дифференциал:
максимальное
значение абсолютной погрешности
функции
вычисляется
по формуле
, (8)
где
-
это положительные максимальные
погрешности аргументов.
Относительная
погрешность обозначается
и
вычисляется как отношение абсолютной
погрешности к модулю точного значения
функции:
, (9)
при
этом в расчетах обычно берется
26.
Если
функция
имеет
производную в точке
,
а функция
имеет
производную в точке
,
то сложная функция
(1)
имеет производную (по ) в точке и справедливо равенство
(2)
или
.
(3)
Зададим
,
ему соответствует значение
.
Придадим
приращение
,
это вызовет приращение
.
Так как функция
имеет
производную в точке
,
то на основании равенства (2) § 4.1, имеем
,
(4)
где
при
.
Будем
считать, что
.
Равенство (4) при этом соглашении
выполняется, т. к. если подставить в
него
,
то получится
.
Разделим теперь равенство (4) на :
.
(5)
Пусть
стремится
к нулю. Тогда
,
потому что функция
имеет
производную в точке
и,
следовательно, непрерывна.
Переходим
в равенство (5) к пределу при
.
Тогда
и
,
поэтому получим
.
Теорема доказана.
Формула
(1) может быть усложнена. Например,
если
,
,
и
все три функции имеют производные в
соответствующих точках, то
.
П
р и м е р 1.
.
Полагаем
,
,
.
Тогда
.
П
р и м е р 2.
.
Полагаем
.
Тогда
.
Обычно
при вычислениях вспомогательные
переменные
не
вводят, а только подразумевают их.
В случае примера 1 вычисления выглядят так:
.