1.2. Оценка наличия количественной связи между параметрами учебного процесса

Исследуемые параметры учебного процесса являются случайными величинами, поэтому для определения количественной связи между ними применяют статистические методы. В таблице 1 представлены исходные параметры экспериментальных наблюдений учебного процесса.

Для выполнения задач анализа учебного процесса для группы студентов нас может интересовать, например, влияние посещаемости текущих занятий на результаты выполнения теста. В этом случае, мы полагаем посещаемость занятий X независимой переменной, а результаты тестирования Y – зависимой. Обработка экспериментальных данных таблицы параметров проводится для всех пар значений группы студентов. На первом этапе вычисляют среднеарифметические и значения, а также эмпирические дисперсии и :

; ;

; .

Нас интересует наличие связи между X и Y , а также сила (теснота) этой связи. Для этого мы должны определить эмпирический коэффициент корреляции:

.

Этот коэффициент является выборочной оценкой для истинного коэффициента корреляции , который является мерой силы (тесноты) и направления линейной связи между значениями компонент случайного вектора (X,Y). Если < <1, то существует линейная связь между значениями , внутренняя природа которой более сложна, чем простая линейная функциональная зависимость.

На основе полученного эмпирического коэффициента можно оценить наличие линейной связи между исследуемыми случайными параметрами. Для этого решается вопрос о статистической значимости полученного коэффициента. Выдвигается гипотеза , а затем проверяют, не противоречит ли она экспериментальным данным. Для этого находят эмпирический коэффициент корреляции [ ], вероятность превышения которого в рамках гипотезы не может быть больше заданного малого числа - уровня значимости. Если >[ ], то гипотеза отвергается и считают, что значимо отличается от нуля, так что . Следовательно, существует линейная связь между параметрами X и Y с доверительной вероятностью .

При условии нормального распределения исследуемых параметров X и Y , проверку значимости коэффициента корреляции осуществляют по таблице, содержащей рассчитанные заранее критические значения коэффициентов корреляции. Так, для уровня значимости и числа степеней свободы m = n- 2 эти значения:

Число степеней cвободы m = n-2	5	10	15	20	25	30	35	40	50	60	70	80
[ ]	0,75	0,58	0,48	0,42	0,38	0,35	0,32	0,30	0,27	0,25	0,23	0,22

Например, значим ли эмпирический коэффициент корреляции , если он получен из выборки объема n = 22. Для m = n – 2 = 20 , с доверительной вероятностью 0,95 корреляция значима ( >0.42).

Пример вычисления и оценки связи между текущей успеваемостью и результатами тестирования

Для выборки

Условие: если то корреляция значима.

- корреляция незначима, отсутствует линейная связь между , т.е. между текущей успеваемостью и результатами тестирования.

Для степени свободы с доверительной вероятностью 0,95, значимость полученного коэффициента корреляции определяется из условия: если то корреляция значима и линейная связь между существует, в противном случае наблюдаем отсутствие связи между .

Здесь, - табличное критическое значение коэффициента корреляции с доверительной вероятностью 0,95.