10 Интегрирование

; ; dx// рационально через dt Несколько более общий случай: , где М – общий знаменатель

8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму….

Пусть многочлен, стоящий в знаменателе, удалось разложить на множители: . Тогда интеграл можно существенно упростить за счет следующих общих выкладок. Берем интеграл от каждого слагаемого. Так, имеем: = Рациональные части от всех слагаемых объединяем. Получаем в итоге равенство Здесь многочлены Q₁(x) и Q₂(x) таковы:

Оставшийся интеграл достаточно простой. При нахождении коэффициентов многочленов исходим из последовательности равенств: 1) 2) 3)

9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx.

Рассмотрим неопределенный интеграл где R( , ) – рациональная функция от sin x и cos x. Этот интеграл может быть в общем случае сведен к интегралу от рациональной функции, для чего надо подставить .

Имеем

х=2arctgt

Частные случаи

1. если или , то можно не применять универсальную подстановку. Пусть, например, m- нечетное

а)

б)

2. и . Тогда понижаем порядок вдвое, приходим к интегралу вида .После возведения в степени p и q и перемножения, снова имеем интегралы вида Пример

=

11 Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман

Требуется определить площадь криволинейной трапеции АВСД, ограниченной сверху кривой y = f(х), слева и справа прямыми х=а и х=b и снизу прямой у = 0 (осью х). Сначала рассмотрим приближенное решение этой задачи. Разобьем [а,b] точками х₀=а, х₁, х₂,…,х_n-1, х_n=b; х_j-х_j-1=Δ х_j-1.

Проведем ординаты (вычислим) f(х₀), f(х₁), …, f(х_n-1), f(х_n).

Вычислим суммарную площадь прямоугольников высоты f(х₀)…, f(х_n-1)

Имеем

Величину σ можно рассматривать в качестве приближенного значения площади. Сумма Σ f(х_j) Δх_j является примером интегральной суммы.

Разбиение отрезка [а,b] можно характеризовать в данном случае максимальным значением Δх_j, которое обозначим λ:

λ=max(Δx_j) j=0,1,...,n-1 λ- параметр разбиения. Ему соответствует сумма площадей σ.

Возьмем более «мелкое» разбиение с параметром λ', λ'<λ . Ему соответствует сумма площадей прямоугольников: Измельчая разбиения и устремления параметра λ к нулю, получим последовательность интегральных сумм σ, σ', σ",… Если эта последовательность имеет предел при λ→0, равный S, что можно записать так то этот предел принимают (по определению) за площадь криволинейной трапеции АВСД.

Интеграл Римана (определенный интеграл)

Пусть на отрезке [а,b] дана функция f(х), которую будем считать непрерывной.Построим разбиение отрезка [а,b]. Под разбиением будем понимать множество точек х0, х1, …, хn, удовлетворяющих условию:

а= х₀< х₁<х₂<…< х_n-1< х_n=b

Сумма называется интегральной суммой для произвольной функции f(х) на отрезке [а,b] . Если существует предел (конечный) ,не зависящий от выбора точек ξ_j на интервалах [х_j, х_j+1] и от выбора точек х_j, то такой предел называют определенным интегралом от f(х); обозначается символом Итак a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, f(х) называют подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральное выражение.

Функции f(х), для которых существует конечный предел , называют

интегрируемыми в смысле Римана (мы будем иметь дело только с таким интегралом) .