1.3. Распределение молекул газа, находящегося в состоянии равновесия, по направлениям движения

Рассмотрим газ находящийся в состоянии равновесия. При этом он занимает объем V и содержит N молекул. При отсутствии внешних сил молекулы газа распределяются равномерно по объему V и движутся хаотически не имея преимущественного направления. Если провести сферу радиуса R вокруг объема V и в произвольный момент времени продолжить направления скоростей движения всех молекул до пересечения с этой сферой, то вся сфера покроется точками в местах этих пересечений. Причем из-за отсутствия преимущественного направления в движении молекул (равновесие) поверхностная плотность этих точек  = N /4R² будет постоянна по всей сфере в любой момент времени.

Выберем на сфере произвольную элементарную площадку dS Тогда количество точек, оказавшихся на этой площадке

dN = NdS /4R²= Nd /4 (1.3.1)

где d = dS /R² - телесный угол, под которым видна площадка из

центра сферы. (Полный телесный угол, стягиваемый сферой  = ∫ d = ∫ dS/R² =4R²/R²=4)

Соотношение (1.3.1) можно представить в виде:

dN / N = d /4 (1.3.2)

Левая часть равенства (1.3.2) представляет собой отношение числа молекул dN, направления скоростей которых заключены и телесном угле d, к общему числу молекул и при большом N равна вероятности того, что "взятая наугад" молекула в газе имеет направление скорости, заключенное в телесном угле d Формула (1.3.2) выражает закон равновероятности направлений движения молекул в равновесном состоянии газа.^*

^* Основные сведения из теории вероятностей даны в Приложении А. Нумерация формул в Приложении А дается по форме (А.5), что означает: формула 5 Приложения А.

Р и с. 7

Найдем дифференциал площади dS в сферической системе координат. Для этого проведем через ось Z (рис. 7) две бесконечно близкие плоскости под углами  и  + d к плоскости XOZ. Они пересекут сферу по окружностям O΄BO΄΄ и O΄CO΄΄ радиуса R. Далее проведем два конуса с углами 2 и 2(+d) при вершине O , которые пересекут сферу по окружностям С΄СС΄΄и В΄DВ΄΄. В результате пересечения четырех указанных окружностей получается элемент сферы, (на рис.7 заштрихован) площадь которого

dS =BC·BD, (1.3.3)

где BC = ABd=R sin d , BD =R d

Подставляя последние величины в формулу (1.3.3), получим выражение для бесконечно малой площади в сферической системе координат:

dS=R ²sin d d (1.3.4)

Из выражений (1.3.4) и (1.3.1) находим число частиц, которые имеют направления, определяемые сферическими углами, лежащими в интервалах от  до  + d и от  до  + d :

dN_,=N sin d d /4 (1.3.5)

Если разделить обе части соотноше­ния (1.3.5) на объем V, занимаемый газом, то получим

dn_,=n sin d d /4 (1.3.6)

где dn_,=dN_, /N - число молекул в единице объема, которые имеют направления вектора скорости близкое к направлению, определяемому углами  и  , n=N/V - число молекул в единице объема с любыми направлениями движения.