8. Температура - мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Чтобы выяснить физический смысл температуры с точки зрения молекулярно-кинетической теории, используем основное уравнение кинетической теории газов для давления

(1.8.1)

При постоянном объёме V=const газа и постоянном в нём числе молекул N=const (тогда и концентрация молекул n=N/V =const) из этого уравнения следует, что давление идеального газа пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения его молекул:

Р ~ , (V = const, N = const) (1.8.2)

С другой стороны, шкала температур Кельвина строится так, что о давлении идеального газа при постоянном объёме V=const и постоянном числе N=const частиц в эталонном термометре принимается пропорциональным его температуре (см. формулу (1.67):

Р~Т, (V=const, N= const) (1.8.3)

Поэтому, исходя из соотношений (1.8.2) и (1.8.3), можем утверждать, что температура газа пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекул

(1.8.4)

По определению полагают температуру θ, выраженную в энергетических единицах (джоулях), равной 2 /3, т. е.

(1.8.5)

Однако практически пользоваться энергетическими единицами для измерения температуры неудобно, так как обычно встречающиеся температуры выражались бы при этом ничтожно малыми числами (связано это с малостью средней кинетической энергии Е_К молекулы). К примеру, температура кипения воды, выраженная в джоулях, равна Дж. По этой причине, а также потому, что понятием температуры пользовались ещё задолго до того, как были развиты молекулярно-кинетические представления, выявившие её истинный смысл, и для температуры уже давно была выбрана единица измерения - градус, принято пользоваться и в настоящее время этой единицей, несмотря на её условность.

Но если температуру измерять в градусах, то необходимо ввести коэффициент, переводящий единицы энергии (джоули) в градусы (Кельвины), т. е.

θ=kT (1.8.6)

Коэффициент k называют постоянной Больцмана, появление которой в физике весьма условно. Её численное значение находится из опыта и по современным данным Дж/К. Из (1.8.6) видно, что переводной коэффициент k численно равен количеству джоулей, соответствующих одному Кельвину.

Из (1.8.5) и (1.8.6) следует, что

(1.8.7)

Поскольку средняя кинетическая энергия существенно положительная величина, то, как видно из последнего соотношения, абсолютная температура не может быть отрицательной, т.е. Т ≥ 0.

1.9 Уравнение Менделеева-Клапейрона. Следствия из этого уравнения.

Из уравнений (1.8.1) и (1.8.7) следует, что

Р = nkТ (1.9.1)

Учитывая, что n = N/V и N/N_А = m/μ = ν, получим

, (1.9.2)

где введена постоянная R=kN_A=8,31Дж/мольּК, которую называют универсальной газовой постоянной. Физический смысл её установим из уравнения (1.9.2):

, (1.9.3)

которое называют уравнением Менделеева-Клапейрона. Для этого запишем уравнение (1.9.3) для двух состояний изобарического процесса:

PV₁ = νRT₁

РV₂=νRТ₂

О ткуда находим

(1.9.4)

Обозначая V₂ – V₁=ΔV, T₂ – T₁=ΔT и учитывая, что работа при изобарическом процессе А =РΔV, из (1.9.4) найдём R.

, (1.9.5)

т.е. постоянная R численно равна работе при изобарическом нагревании на один кельвин (ΔТ = 1К) одного моля (ν = 1 моль) идеального газа. Так как k = R/N_A, то постоянная Больцмана имеет тот же смысл, что и R, только рассчитанная на одну молекулу.

Из уравнения состояния идеального газа (1.9.3) можно получить известные из опыта газовые законы.

1. Полагая в уравнении (1.9.3) ν = const и Т = const, получаем

PV = const (1.9.6)

Отсюда вытекает формулировка закона Бойля-Мариотта (изотермический процесс): при неизменных массе и температуре идеального газа произведение его объёма на давление есть величина постоянная.

2. При изобарическом процессе P = const. Также ν = сonst. Поэтому из уравнения состояния (1.9.3) в этом случае

(1.9.7)

т.е. при неизменных массе и давлении идеального газа отношение объёма, занимаемого газом, к его температуре - величина постоянная. Это утверждение известно как закон Гей-Люссака.

3. Пусть процесс протекает при постоянном объёме V=const (попрежнему ν = сonst). Тогда из (1.9.3)

(1.9.8)

т.е. при неизменных массе и объёме идеального газа отношение давления газа к его температуре есть величина постоянная. Уравнение (1.9.8), называемое уравнением изохорического процесса, выражает известный закон Шарля.

3. Из уравнения (1.9.3), очевидно, также следует объединенныйзакон Мариотта – Гей – Люссака

, (1.9.9)

т.е произведение давления газа на его объем, деленные на абсолютную температуру, для данной массы газа есть величина постоянная.

5. Из уравнения (1.9.3) также следует закон, согласно которому при одинаковых давлениях и температурах в равных объёмах любого газа содержится одинаковое число молекул. Действительно, пусть имеются два одинаковых объёма двух различных газов при одинаковых давлениях и температурах. Для каждого из них можно написать уравнение состояния (1.9.2)

PV = N₁kT , PV = N₂kT,

где N₁ и N₂ - число молекул обоих газов. Из этих равенств непосредственно следует, что N₁ = N₂. Это и есть закон Авогадро. Из него, очевидно, следует и обратная формулировка: различные газы, но содержащие одинаковое число молекул, будут при одинаковых давлениях и температурах занимать одинаковые объёмы. Поэтому моль любого газа при данных давлении и температуре занимает одинаковый объём. В частности, при нормальных условиях (Т₀ = 273,15 К, Р_атм = 1,01ּ10⁵ Па) моль любого газа занимает объём

6. Следствием уравнения идеального газа является и закон Дальтона, утверждающий: давление смеси химически не реагирующих газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов. Парциальным давлением называют давление, которое создал бы газ, если бы он находился один в объёме, занятом смесью.

Для доказательства закона Дальтона учтём, что в смеси нескольких газов общее количество молекул равно сумме количеств молекул отдельных газов

(1.9.10)

Подставим (1.9.10) в (1.9.3)

(1.9.11)

Каждое из слагаемых выражения (1.9.11) представляет собой парциальное давление. Поэтому

(1.9.12)

Что и требовалось доказать.

7. Наконец, следствием уравнения Менделеева – Клайперона является закон Амага΄: объем смеси химически нереагирующих идеальных газов равен сумме их парциальных объемов, т.е.

(1.9.13)

где парциальный объем

(1.9.14)

Как видно из выражения (1.9.14), парциальный объем V_i есть объем, который занимал бы i – ый газ, если бы все остальные газы были удалены, а давление Р и температура Т остались неизменными.

Для доказательства найдем из уравнения (1.9.2) идеального газа объем смеси

(1.9.10)

и подставим в него вместо N его выражение из (1.9.10). В результате получим

,

что и доказывает справедливость закона Амага.