Теорема2(Абелья) Якщо ряд (1) розбіжний в точці то він буде розбіжним для всіх
Дов.
Нехай степеневий ряд (1) збігаеться в
точці
тоді збіжним є числовий ряд
в цьому віпадку виконуеться необхідна
умова збіжності числового ряду
звідси
випливае, що {
}
обмежена, тобто
,
що
виконуеться нерівність
розглянемо тепер точку х таку, що
тоді велечина
Розглянемо
Оскільки ряд
збіжний, як геометрична прогресія (g<1)
то за теоремою Верштрасе ряд
абсолютно збіжні при
Нехай ряд (1) розбігаеться в точці
покажемо, що він розбіжний для всіх
точок х
таких що
Припустимо супротивне
тобто
така, що
і всякий степеневий ряд (1) збігаеться
тоді за першим твердженням теореми
Абелья степеневий ряд (1) повинен
збігатися і в точці
,
а це суперечить умові теореми.
Наслідок: Для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки
Степеневий ряд (1) збігаеться лише в точці х=0
Степеневий ряд (1) збігаеться при всіх
-
збігаеться і розбігаеться
Озн: Число R наз. радіусом збіжності степеневого ряду (1) , а інтервал (-R;R) наз. інтервалом збіжності цього ряду.
Розглянемо
спосіб визначення радіуса збіжності
степеневого ряду . Розглянемо ряд
складений ряд з модулів членів ряду
(1)
Припустимо, що існуе границя
=
,
Тоді за ознакою Долонбера ряд (1)
збігаеться, якщо
або
тобто інтервал збіжності є
, арадіус збіжності є число
(3)
Даний
ряд розбігаеться, якщо
тобто
аналогічно, використовуючи
ознаку
Коші, можна довести, що радіус збіжності
степеневого ряду (1)
(4)
Зауваження1:
У випадку коли L=0
R=
ряд
(1) збігаеться на всій числовій осі.
У випадку
коли L=
R=
областю
збіжності ряду (1) є точка х=0.
Зауваження2:
Інтервалом збіжності степенеого ряду
(1) є (-R;R)
але питання про збіжність ряду
треба для кожного степеневого ряду
розвязувати окремо. Таким чином область
збіжності степеневого ряду (1) ьщже
видризнятися від (-R;R)
хіба лише двома точками
.
Зауваження3:
Для степеневого ряду (2) радіус зближеності
знаходять за такими ж ф-ми (3) і(4) , що і
для ряду (1) , а інтервал збіжності
визначають з нерівності
R
тобто він мае вигляд
14.Ряд Тейлора
Пусть ф-кция f(x)
явл. суммой степ. ряда f(x)=a0+a1(x-x0)+
a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…=
(1). на (x0-R,
x0+R).
Тогда говорят, что f(x)
разл. в степ. ряд в окр. т. х0
или по степеням х-х0.
Найдем коэффициенты ряда (1). Для этого
согл. св-ву 4 степ. рядов необх.
последовательно продиф. ряд (1) и
подставить в найденные производные
значения х = х0.
f(x)=a0+a1(x-x0)+…
f(x0)=a0
f “(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…
f “(x0)=a1
f “ “(x)= 2a2+3*2a3(x-x0)+…
|=> f(n)(x)= n(n-1)…*2*1an+ (n+1)n(n-1)…2an+1(x-x0)+…
f(n)(x)=n!an
|=> a0=f(x0), a1=f ”(x0)/1!, a2=f “ “(x0)/2!, … , an=f(n)(x0)/n!
подставив значения коэфф. в равенство (1) получим
f(x) =
f(x0)+f
”(x0)(x-x0)/1!+
f “
“(x0)(x-x0)2/2!+…+
f(n)(x0)(x-x0)n/n!+…
=
(2), 0!=1, f(0)=f.
Опр. Ряд (2) наз. рядом Тейлора ф-кции f(x). Итак, доказана такая теорема :
Теорема 1: если ф-кция f(x) на (x0-R, x0+R) может быть разложена в степ. ряд, то этот ряд единственный и явл. рядом Тейлора данной ф-кции.
Замечание : пусть ф-кция f(x) – произвольная беск. число раз дифф. функция. Сост. для неё ряд (2). Оказывается, что сумма ряда (2) не всегда сходится с f(x). Иначе говоря, ряд (2) может сходится к другой ф-кции, а не к f(x), для которй он формально был составлен.
Установим условия, при кот. сумма ряда(2) сходятся с f(x).
Теорема 2
: чтобы ряд (2) сходился к f(x)
в (x0-R,x0+R)
чтобы в этом интервале f(x)
имела произв. всех порядков и остаточный
член её ф-лы Тейлора →0 при n→∞,
x
из этого интервала: limn→∞
Rn(x)
= 0,
x
(x0-R,x0+R).
(3) Док-во
: изв. что для f(x)
, кот. имеет производные всех порядков
, справ. ф-ла Тейлора :
+ Rn(x)(4),
где Rn(x)=f (n+1)(x0+Ө(x-x0))(x-x0)n+1/(n+1)!, 0<Ө<1 (5). Остаточный член ф-лы Тейлора в форме Лагранжа. Если n-ую частную сумму ряда (2) через Sn(x), то ф-лу (4) можно зап. в виде : f(x)=Sn(x) + Rn(x) (6). Пусть f(x)- сумма ряда (2), т.е. limb→+∞Sn(x)=f(x). Тогда из ф-лы (6) => св-во (3) и наоборот, если вып. условие (3), то из ф-лы (6) =>limb→+∞Sn(x)=f(x).
Замечание : непоср. проверка условий теоремы (2) нередко оказывается непростой задачей. Докажем теор., окт. даёт дост простое условия разл. ф-кций в ряд Тейлора.
Теорема 3
: если f(x)
на (x0-R,x0+R)
имеет производные всех порядков и
:
f
(n)(x)<M,
x
(x0-R,x0+R),n
/N(7)
то ф-кцию f(x)
можно разложить в ряд Тейлора.
Док-во : в соответствии с теоремой (2) достаточно проверить усл. (3). В силу нер-ва (7) остаточный член ф-лы Тейлора удовл. нер-во:
|Rn(x)|=|f
(n+1)(x0+Ө(x-x0))||(x-x0)|n+1/(n+1)!<M|x-x0|n+1/(n+1)!
(8) Составим степенной ряд:
(9) Применим к ряду (9) признак д’Аламбера
: limn→∞Un+1(x)/Un(x)=
limn→∞[M|x-x0|n+2/(n+2)!
* (n+1)!/M|x-x0|n+1]=
limn→∞|x-x0|/n+2=0.
Поэтому степ. ряд (9) сходится на /R.
Тогда для схоящегося ряда limn→∞Un+1(x)=
limn→∞M|x-x0|n+1/(n+1)!=0.
Из нер-ва (8) находим, перейдя к пределу
limn→∞Rn(x)=0,
x (x0-R,x0+R).