8. Невласні інтеграли 2-го роду.

Нехай ф-я f(x) визначена на проміжку [a,b) точку х=b назвемо особливою якщо f(x) коли х b-0. Нехай х=b особлива точка ф-ї f(x) і ця ф-я інтегрована на відрізку [a,b-) де >0; b->a. Якщо існує скінченна границя коли (1) то її наз-ть невласним інтегралом 2-го роду. Якщо (1)=  або не існує то невласний інт-л наз-ся розбіжним. У випадку коли х=a особлива точка ф-ї f(x) невласний інтеграл 2-го роду визначається рівністю: = . У випадку коли с₀(a,b) особлива т-а ф-ї f(x) то

= + (2). Інт-л (2) назвемо збіжним коли збіжні будуть оба інт-ли у правій частині (2). У випадку коли х=a х=b – особливі т ф-ї невласний інт-л визначається рівністю:

= + (3) де с-будь яка точка с(a,b). Інт-л (3) наз-мо збіжним якщо збіжні оба інтеграли у правій частині (3) незалежно від вибору точки а.

Приклад: , >0, х=0-особлива точка 1/х^. 1)=1 = (розбіжний).

1. 1, >0 = = . Таким чином збігаються коли  і розбігаються коли 1.

Теорема 1: Якщо ф-ї f(x) і g(x) неперервні на проміжку [a;b) і мають особливу точку х =b і задовольняють нерівності 0f(x)g(x), xє[a;b), то якщо -збігається, то збігається. Якщо розбіжний, то розбіжним буде .

Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. (т. х=0) на [0;1) виконується нерівність: 1/(х^1/2+5х⁴) 1/х^1/2 оскільки - збіжний, то - збіжний.

Теорема 2: Якщо ф-ї f(x) і g(x) неперервні додатні на проміжку [a;b) і мають особливість в точці х =b і , то інтеграли і мають однакову поведінку, або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

11продолжПриклад: неперервні і додатні на [0;1) мають особливість в точці х=0.

Розглянемо . розбігається, то за теоремою 2 - розбігається.

Теорема 3: Якщо х=b особлива точка f(x) і збігається, то збігається і інтеграл .

Приклад: . Підінтегральна ф-я знакозмінна і має особливість в т. х=0. Розглянемо інтеграл . збіжний, тому, що , то за теоремою 1 збіжний , а за теоремою 3 збіжний

1. 9.Числові ряди Найпростіші властивості.

О-я: Нехай задана посл-ть дійсних чисел {a_n}={a₁,a₂,…., a_n ….}.

Числовим рядом наз-ся вираз a₁,a₂,…., a_n …= .

Число a_n- енний член ряду_.

Число S_n наз-ся частинною измою ряду (1).

Сумой ряду 1 наз-ть вел-у S=lim_n S_n.

Ряд 1 збіжний якщо його сума –скінченне число.

Якщо сума= або не існує то ряд 1 наз-ся розбіжним.

Властивості збіжних рядів:

1)Якщо - збіг-ся і має суму сS, де с- конят .

Дов-ня:

Нехай S_n= ,_n= =сS_n.

lim_n S_n=S, lim_n _n= lim_n сS_n=сS.

2)Якщо ряди і збіг-ся і мають суми А і В то збіжн-ми єтакож ряди =А В.

Дов-ня:

Нехай S_n= , _n=

S*_n= , S*_n= S_n _n

Тоді lim_n S_n=А , lim_n _n=В.

3)Збіжність ряду не зміниться якщо до цього ряду приєднати або відкинути скінченну кіль кість членів.

Дов-я:

Нехай S_n- частинна сума ряду 1. с_m- сума відкинутих членів, n- таке велике щоб всі відкинуті члени знаходились в S_n. _n-m-сума членів ряду що містяться в S_n і не містяться у с_m.

Тоді S_n= с_m+_n-m тоді lim_n S_n= с_m+ lim_n _n-n.

З 2 впливає що гр. І влівій і правій частинах одн-но існує або не існує тобто ряд один збіжний(розб-й) коли збіжн-й(розб-й) ряд m n-го членів.

О-я: r_n= , вираз r_n наз-я n-им залишком ряду 1. Тобто його можна розглядати як суму ряду 1 без перших n його членів.

4)Ряд 1 збіжн-й тоді і тільки тоді коли збіг-ся його залишок.

5)Необхідна умова збіжності .

Якщо 1 збіг-ся то lim_n а_n=0.

Дов-ня:

За умовою S=lim_n S_n зрозуміло що S=lim_n S_n-1. Тоді lim_n а_n= lim_n (S_n- S_n-1).

Достатня умова розбиття ряду:

Якщо lim_n а_n0 то , дійсно як-би ряд був збіжним то за 5) його залежний член прямував би до 0 при n а це суперечить умові.