7. Невласні інтеграли 1 роду. Приклади.

Нехай f(x) визначена на [a;+] , де 0аb, якщо існує скінчена границя

, то цю границю називають невласним інтегралом 1 роду і позначають (1).

У цьому випадку інтеграл (1) називається збіжним, а ф-я f(x) інтегров. на [а;+ ].

Якщо вказана границя не існує або є , то інтеграл (1) розбіжний, а ф-я f(x) неінтегров. на [а;+ ].

Аналогічно визначається = .

Невласний інтеграл з двума нескінченими межами визначається рівностями (2) = + , с-довільне число. збіжний коли є збіжним обидва інтеграла справа. Можна довести, що інше визначення (2) не залежить від вибору с.

Зауваження: З означення невласних інтегралів випливає невласні інтеграли є проп-ю інтегральних сум, а є границя визначеного інтегралу із змінною межею інтегрування. І виражає площу необмеженої області.

Приклад: Дослідження на збіжність. 1) =1 = = = інтеграл розбіжний. 2) 1 = = .

Таким чином інтеграл збігається, якщо  і розбігається коли 1. Розглянемо деякі ознаки збіжності невласних інтегралів. Нехай на [a,+) ф-ї f(x) і g(x) неперервні і задовольняють нерівності 0f(x)g(x), хє[a,+). Тоді (3) (4). З(3) випливає (4), а із розбіжності (4) розбіжність (3).

Якщо площа більшої за розмірами області – скінчене число і  меншої – скінчене число і якщо  менше за розмірами області нескінченно велика величина, то і  більшої нескінченно велика величина.

Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. оскільки Оскільки збігається (дивиться попередній приклад), то за теоремою (1) збіжним є також і .

Теорема 2: Якщо ф-ї f(x) і g(x) неперервні визначені на інтервалі [a,+) і задовольняють де (0К), f(x)0 і g(x)0, хє[a,+), то інтеграли (3) і (4) або одночасно збігаються або одночасно розбігаються.

Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. . Оскільки збіжний (дивиться попередній приклад  розглянемо Ми скористалися тим, що ln(1+1/(x²+1))1/(x²+1), x, таким чином за теоремою 2 розбігається, оскільки збіжним є інтеграл .

У теормах 1 і 2 розглядаються лише невласні інтеграли від невід’ємних ф-й. У випадку коли підінтегральна ф-я знакозмінна справедлива така теорема:

Теорема 3: Якщо збігається, то збігається і .

Приклад: Дослідити на збіжність інтеграл. підінтегральна ф-я знакозмінна. Розглянемо .

10 продолжОскільки |(1+3sin x)/x⁴|4/x⁴; - збіжний, тому за теоремою 1 (4 збіжний, а за теоремою 3 - збіжний.

.

З збіжності у загальному випадку не випливає збіжність .

Означення: Якщо разом з інтегралом збігається інтеграл , то інтеграл називається абсолютно збіжним. У випадку коли збігається, а інтеграл розбіжний, то називається умовно (неабсолютно) збіжним.