4.Повний диференціал ф-ї багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.

Нагадаємо, що Ф-я z=f(x,y) диференцируєма в точці М, якщо її повний приріст в цій точці можна надати у вигляді z=Ах+Ву+x+y (1), де А,В – дійсні числа, які не залежать від х,у. х,у), х,у) – нескінченно малі ф-ї, якщо х, у0.

Означення: Повним диференціалом dz, диференцируємої в точці М(х,у) ф-ї z=f(x,y) називається лінійним відносно х,у, частина повного прирісту цієї ф-ї в т. М. Тобто dz=Ах+Ву.

Диференціали незалежних змінних х та у називаємо прирісти цих змінних, тобто dх=х, dу=у, тоді враховуючи теорему про існування частинних похідних диференцируємої ф-ї, формулу (2) можна записати (3).

Аналогічна формула має місце для диференцируємої ф-ї 3 змінних u=u(x,y,z) (4).

Теорема: Різниця між повним прирістом z і повним диференціалом dz є при х, у0 – нескінченно малих вищого порядку ніж g=(х²+у²)^1/2.

Доведення: Зформул (1) і (2) маємо , оскільки ф-ї  і  - нескінченно малі ф-ї при х, у0, а ф-ї х/g, у/g – обмежені (х/(х²+у²)^1/2)=1/(1+(dу²/х²)1, так как dу²/х²1 х/g1, у/g)1 аналогічно.

Зауваження: Оскільки різниця z-dz – нескінченно мала величина вищого порядку ніж g, то виконується наближена рівність zdz, або f(х+х,у+у)f(x,y)+f_x^’(х,у)х+ f_у^’(х,у)у (5).

Ця рівність тим точніша чим менше величина g. Рівність (5) широко використовується в наближених обчисленнях, оскільки диференціал ф-ї обчислюється простіше ніж повний приріст.

Приклад: Знайти повний диференціал ф-ї z=х³у². Частинні похідні z/х=3х²у² і z/у=2х³у – неперервні ф-ї у R² тому диференціал ф-ї на всьому R² дорівнює dz=3х²у²dx+2х³уdy.

Нехай z=f(x,y) – ф-я 2 незалежних змінних х та у, диференціал ф-ї знайдений за ф-ю (3) називається ще диференціалом 1 порядку.

Означення: Диференціал 2 порядку ф-ї z=f(x,y) визначається як d²z=d(dz).

Нехай ф-я z=f(x,y) має неперервні частинні похідні, знайдемо формулу для диференціала 2 порядку цієї ф-ї. d²z=d(dz)=iз (3)= Таким чином одержимо (6). Тут ми використовуємо теорему Шварца. Символічно (6) можна записати так: d²z= . Аналогічно можна довести d³z= . Застосовуючи метод математичної індукції одержимо формулу для диференціала n порядку dⁿz= , де dⁿz=d(d^n-1z) (7).

Зауваження: Формули (6) і (7) справедливі лише у випадку коли змінні х,у в ф-ї z=f(x,y) є незалежними.

5. Похідні складної ф-ї багатьох змінних. Диференціал складної ф-ї багатьох змінних.

Нехай z=f(x,y) ф-я 2 змінних х, у, кожна з яких, в свою чергу ф-я незалежної змінної t (x=x(t), y=y(t)), тоді z=f(x(t),y(t)) є складена ф-я змінної t.

Теорема: Нехай ф-ї x=x(t), y=y(t) диференцируємі у т. t, а ф-я z=f(x,y) диференцируєма у відповідній точці М(х,у), тоді складена ф-я z=f(x(t),y(t)) диференцируєма в т. t і її похідну можна знайти за формулою: (1).

Доведення: За умовою теореми , т. к., Оскільки з умови диференцируємості ф-ї випливає їх неперервність, то з того, що маємо

Приклад: Знайти похідну dz/dt, якщо z=x²-3y, де x=2t, y=t². Знайдемо похідні z/x=2x-3y; z/y=-3x; dx/dt=2; dy/dt=2t. За формулою (1) одержимо Dz/dt=(2x-3y)2+(-3x)2t=22t2-3t²2+(-32t2t)=8t-6t²-12t²=8t-18t² .

Аналогічно знаходять похідну, якщо число змінних більше 2.

Наприклад: u=f(x,y,z), x=x(t), y=y(t), z=z(t) du/dt= .

Розглянемо більш загальний випадок, нехай z=f(x,y) у якої кожна з змінних , у свою чергу є ф-я 2 змінних u,v. x=x(u,v), y=y(u,v), тоді z=f(x(u,v),y(u,v)) визначає складену ф-ю змінних u і v.

Теорема: Якщо ф-ї x=x(u,v), y=y(u,v) диференцируємі у т. М₁(u,v), а ф-я z=f(x,y) диференцируєма в т. М(х,у), то складена ф-я z=f(x(u,v),y(u,v)) диференцируєма у т. М(u,v) і її частинні похідні можна знайти за формулами: . Доводиться аналогічно попередній.

Знайти z/u, z=x²ln y, де x=u/v;y=uv. Знаходимо частинні похідні: z/х=2xln у; z/у=х²/у; х/u=1/v; y/u=v за (2): z/u=2х ln y 1/v+ х² v /у=2 u/vln uv1/v+ u²/ v²*

*(2ln uv+1).

Знайдемо диференціал складної ф-ї:

dz=(z/u) d u+(z/ v) d v=(z/х*х/ v+z/у*y/u)d u+(z/х*х/ v+z/у*у/v)dv=

=z/х((х/u)du+(х/ v) d v)+ z/у((y/u) d u+(у/v) d v)= (z/х) dx+ (z/у) dy(3).

Порівнюючи (3) з формулою (3) пит 5 одержимо що dz ф-ї z=f(x,y) має незмінну і інваріантну форму незалежно від того чи є змінні х,у незалежними зм-ми , чи х,у –ф-ї від змінних u,v.

Заув-ня: Диф-ли вищих порядків не мають властивості інваріантності.

Приклад:

z=f(x,y), х=х(u,v), у=у(u,v)

²z= dz(dz)= d((z/х)dx +(z/у)dy)= (²z/х²)dx² +2(²z/(ху))dxdy+(²z/у²) dy²+

(z/х) ²х=(z/у) ²у (4).

Порівнюючи ф-лу (4) з ф-ю (6) теми 5, бачимо, що у (4) є 2 доданки, яких не має в (6), тому ці ф-ли не співпадають і диференціали не мають вищих порядків.