Ряд Тейлора
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а такжеНьютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Содержание [убрать]
|
[Править]Определение
Пусть
функция 
бесконечно
дифференцируема в некоторой окрестности точки 
.
Формальный ряд
называется
рядом Тейлора функции 
в
точке
.
[Править]Связанные определения
В случае, если
,
этот ряд также называется рядом Макло́рена.
[Править]Свойства
Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:
У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.
[Править]Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности некоторой точки.
Теорема:
-
Пусть функция имеет
производную в
некоторой окрестности
точки
, 
Пусть
Пусть
—
произвольное положительное число,
тогда:
точка 
при 
или 
при 
:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
[Править]Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
В интегральной форме:
Ослабим предположения:
Пусть функция имеет
производную
в некоторой окрестности точки
И производную в самой точке , тогда:
—
остаточный
член в асимптотической форме (в
форме Пеано,
в локальной фо
Ряды Маклорена некоторых функций
Экспонента:
Натуральный логарифм:
для
всех 
Биномиальное разложение:
для
всех
и
всех комплексных 
где
В частности:
Квадратный корень:
для
всех
для
всех
Конечный геометрический ряд:
для
всех 
Тригонометрические функции:
для
всех 
где 
— Числа
Бернулли
для
всех 
где
— Числа
Бернулли
для
всех
для
всех
Гиперболические функции:
для
всех
для
всех
для
всех
8 Ряды фурье Ряд Фурье
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Добавление членов ряда Фурье
Ряд Фурье —
представление произвольной функции
с
периодом 
в
виде ряда
Этот ряд может быть также переписан в виде
.
где
—
амплитуда k-го
гармонического колебания,
—
круговая
частота гармонического колебания,
—
начальная
фаза k-го
колебания,
— k-я
комплексная амплитуда
В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество системортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя придифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.