Определение
Пусть
— числовой
ряд.
Число 
называется 
-ой
частичной суммой ряда 
.
Сумма
(числового) ряда —
это предел частичных сумм 
,
если он существует и конечен. Таким
образом, если существует число 
,
то в этом случае пишут 
.
Такой ряд называется сходящимся.
Если предел частичных сумм не существует
или бесконечен, то говорят, что
ряд расходится.
[Править]Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
(1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
(1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
,
а
их суммы равны 
и 
соответственно,
то сходятся и ряды
,
причём
сумма каждого равна соответственно 
.
[Править]Необходимый признак сходимости ряда
Ряд 
может сходиться лишь в том случае, когда
член 
(общий
член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
3 Необходимый признак сходимости. Признак сходимости Даламбера
Определение: Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)
Числовым рядом называется выражение вида:
Сокращенно
ряд обозначают следующим образом:
Необходимый
признак сходимости ряда:
Если ряд
сходиться,
то общий
член ряда
стремиться
к нулю при
Т.о.
если [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г. Если для числового ряда
существует
такое число
то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера
то ряд расходится. [править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме Если существует предел
то
рассматриваемый ряд абсолютно сходится
если
Замечание. Если 4 Признак сравнения. Радикальный признак Коши Признак сравнения [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
[править]Формулировка
п·о·р Доказательство [показать] [править]Признак сравнения отношений Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений. [править]Формулировка
п·о·р Доказательство [показать] [править]Предельный признак сравнения Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме. [править]Формулировка
Радикальный признак Коши [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши. Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
[править]Предельная форма Условие радикального признака равносильно следующему:
То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
[править]Доказательство
1.
Пусть
Раскрыв модуль, получаем:
Поскольку
,
то ряд
2.
Пусть
.
Очевидно, что существует такое
,
что
Раскрыв модуль, получаем:
Поскольку
,
то ряд 5 Знакочередующиеся ряды |
.
.
При этом числа
называются
членами ряда, 
-
общим членом ряда.
,
т.е.
.
,
то ряд
расходится.
Признак
Д’Аламбера
, 
,
что начиная с некоторого номера
выполняется неравенство
,
а если 
—
расходится .
,
то признак д′Аламбера не даёт ответа
на вопрос о сходимости ряда.
и 
),
выполняется неравенство:
,
,
,
из
сходимости
следует
сходимость
,
а при 
из
расходимости
следует
расходимость
.
, 
,
что, начиная с некоторого номера,
выполняется неравенство 
,
то данный ряд сходится.
,
то
ряд
сходится,
ряд
расходится,
вопрос
о сходимости ряда остается открытым.
.
Очевидно, что существует такое 
,
что 
.
Поскольку существует предел 
,
то подставив в определение предела
выбранное 
получим:
сходится.
Следовательно, по признаку
сравнения ряд
тоже
сходится.
.
Поскольку существует предел
,
то подставив в определение предела
выбранное
получим:
расходится.
Следовательно, по признаку
сравнения ряд
тоже
расходится.