Принцип подобия, как основа физического моделирования однофазных систем.

Принцип подобия позволяет из класса явлений, описываемых дифференциальными уравнениями, выделить при помощи приведения их к безразмерному виду группу «подобных» между собой явлений.

Подобие явлений. Подобными называются явления, у которых все характеризующие их величины в любой точке пространства на­ходятся в одинаковых отношениях между собой. В этом случае подо­бие называется полным. Если же подобие соблюдается лишь для не­которых величин, то оно называется частичным.

Так как всякий процесс протекает в определенном геометрическом контуре, то прежде всего устанавливают подобие геометрическое и затем подобие физическое, характеризующее данный процесс.

Геометрическое подобие. Простейшее представление о геометриче­ском подобии двух фигур известно из геометрии. Если рассматривать линейные размеры фигуры не только как скалярные величины, но и как имеющие определенное направление, то подобные фигуры должны быть так расположены в пространстве, чтобы их аналогичные размеры были параллельны друг другу.

Отношение аналогичных размеров модели и натурного объекта называется масштабом модели. Взяв какой-либо линейный размер модели l_м и разделив его на соответствующий размер натуры l_н, полу­чим линейный масштаб модели

(1)

. Сравним по этому принципу две мешалки различных размеров где диаметры мешалок D₁ и D₂, высота уровней перемешиваемой жидкости H₁, H₂, диаметры лопастей мешалок d_м1 и d_м2 , высоты лопастей h_м1 и h_м2, то, чтобы указанные аппараты были подобны, необходимо соблюдение равенств:

(2)

В условиях геометрического подобия

(3)

Однако геометрическое подобие аппаратов удобнее выражать, вводя определяющий геометрический размер. Так, если в рассматриваемой модели аппарата с мешалкой за определяющий размер принять диаметр лопасти мешалки d_m и с ним сравнивать в данной модели все основные размеры:

(4)

то геометрическое подобие будет соблюдаться, если в любом другом аппарате при той же определяющей характеристике сохранится одинаковое значение безразмерных отношений i_D, i_H, i_h , т.е.

(5)

Безразмерные отношения i_D, i_H, i_h и т.д., сохраняющие одно и тоже значение в модели и натуре, называются инвариантами геометрического подобия.

Таким образом, геометрическое подобие будет соблюдаться тогда, когда инварианты геометрического подобия в сравнимых системах сохраняют одно и то же значение, т.е.

i_D=idem,

i_H=idem, (6)

i_h=idem.

Между собой инвариантны геометрического подобия могут быть численно и не равны. Безразмерность инвариантов подобия позволяет переносить условия геометрического подобия на аппараты любых размеров, важно лишь, чтобы отношение данного размера к определяющему следовало равенству (6). При движении потоков в трубах, каналах или промышленных аппаратах за определяющий размер принимают эквивалентный диаметр d_э, совпадающий для круглых труб с диаметром трубы.

Физическое подобие. По аналогии с геометрическим подобием физическое подобие соблюдается тогда, когда инварианты его сравнимых системах сохраняют одно и то же значение.

Инварианты физического подобия так же, как и инварианты геометрического подобия, должны быть величинами безразмерными. Но поскольку физическое явление характеризуется рядом физических величин (скорость, плотность, вязкость и т. п.), то составление из этих величин безразмерных отношений представляет основную задачу метода подобия.

Решение этой задачи осуществляется двумя путями: 1) при помо­щи подобного преобразования дифференциальных уравнений, 2) при помощи анализа размерностей.

Подобное преобразование дифференциальных уравнений. Так как дифференциальное уравнение представляет математическую модель описываемого им физического явления, то его подобное преобразова­ние означает подобие моделей явлений. Границы соблюдения этого подобия устанавливаются опытным путем. В результате подобного преобразования дифференциальных уравнений последние заменяются так называемыми критериальными уравнениями. В этом случае ин­варианты физического подобия называются критериями подобия,

Подобное преобразование сводится к замене физических величин под дифференциальными операторами конечными величинами.

На примере уравнения движения вязкой жидкости можно пока­зать, как осуществляется подобное преобразование дифференциальных уравнений.

Для этого система уравнений (II, 40) запишется для одномерного установившегося движения относительно оси z:

(7)

При изменении длины грани dz уравнение (7) приводится к виду

(8)

Уравнение (8) представляет математическую модель движу­щейся вязкой жидкости, обладающей силой инерции ( ) и дви­жущейся под действием сил тяжести ( ), сил давления и сил трения , В уравнении (8) силы отнесены к единице объема и действуют они на длине dz.

Аналогично представлению об инвариантах геометрического подо­бия проведем сопоставление всех действующих сил с силой инерции. Отношение этих сил к силе инерции (или наоборот) должно привести к получению безразмерных отношении.

Заменим дифференциальные выражения конечными:

сила инерции , (9)

сила тяжести , (I0)

сила давления , (II)

сила трения (I2)

Возьмем отношение сил Инерции к силе Тяжести, тогда получим

(13)

Если в сравниваемых системах движущихся жидкостей безразмер­ный комплекс (13) сохраняет одно и то же значение, т. е.

( 14)

то этот комплекс является инвариантом физического подобия по дей­ствию сил тяжести и называется критерием Фруда:

(15)

Взяв отношение сил Давления к силе Инерции, получим

(16)

Если в сравниваемых системах движущихся жидкостей безразмер­ный комплекс (16) сохраняет одно и то же значение, т. е.

комплекс является инвариантом физического подобия по дей­ствию сил давления и называется критерием Эйлера:

(17)

Наконец, взяв отношение силы Инерции к силе Трения, получим

(18)

Если в сравниваемых системах движущихся жидкостей безразмерный комплекс (18) сохраняет одно и то же значение, т. е.

(19)

то этот комплекс является инвариантом физического подобия по дей­ствию сил внутреннего трения или сил молекулярной вязкости и на­зывается критерием

Рейнольдса:

Так как отношение плотности жидкости к ее вязкости представляет

кинематическую вязкость, то критерий Рейнольдса можно представить в следующем виде:

(20)

Таким образом, выполненное преобразование позволяет диффе­ренциальное уравнение движения заменить уравнением, выраженным в критериях подобия, в виде функции

(21)

Вид функциональной связи (II, 136) может быть установлен толь­ко опытным путем. Поскольку уравнение (II, 136) связывает между собой различные, критерии, характеризующие действие различных сил в жидкости, то оно может быть названо критериальным уравне­нием установившегося движения вязкой жидкости. Если движение неустановившееся, то изменение скорости жидкости ω со временем τ при данном определяющем линейном размере системы l характеризу­ется критерием неустановившегося движения критерием гомохронности:

(22)

который вводится в критериальное уравнение (II, 136). Тогда крите­риальное уравнение неустановившегося движения вязкой жидкости принимает вид

(23)

Автомодельностъ может наступить при изменении условий протекания процесса. Типичным примером служит сопротивление сил трения движению вязкой жидкости. Как показано в дальнейшем, при значениях кри­терия Рейнольдса ниже определенной величины оно зависит главным образом от величины Re и в малой степени — от шероховатости стенок трубы. Однако при увеличении Rе сверх некоторого критического значения фак­тором, определяющим сопротивление, становится именно шероховатость стенок трубы. Сопротивление перестает зависеть от Re, т. е. процесс становится автомодельным по этому критерию.

В случае автомодельности по данному критерию показатель степени при нем в обобщенном уравнении типа уравнения (11,86) получается из опыта равным или близким нулю.

Модифицированные и производные критерии подобия. Как следует из теории подобий, некоторые физические величины, входящие в крите­рии подобия, целесообразно заменять на другие, им пропорциональные. Так, при описании процессов перемешивания, подставляя в Re значение окружной скорости мешалки, исключают из выражений скорости постоянные множители, т. е. подставляют в Re произведение диаметра мешалки на число ее оборотов. Получавшие при этом видоизмененные критерии называют модифицированными.

В ряде случаев оказывается затруднительным или даже практически невозможным определить или начислить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия. Тогда эту величину исключают путем сочетания двух или большего числа критериев и получения сложных, или производных, критериев подобия, составленных из основных. При этом исключенную величину обычно заменяют на другую, ей пропорциональную, опытное или расчетное определение которой является более простым.

Так, например, при естественной конвекции, возникающей вод дей­ствием разности плотностей жидкости, обусловленной различием температур в разных ее точках, очень трудно определить скорость конвективных токов. Однако эта скорость входит в критерий Фруда, отражающий подобие таких процессов. Поэтому исключают скорость путем сочетания критериев Рейнольдса и Фруда:

Полученный комплекс величин представляет собой производный кри­терий, который носит название критерия Галилея:

Умножая этот критерий на разность плотностей жидкости в различных ее точках, выраженную в относительных единицах, - (эта разность является причиной возникновения конвективных токов), находят новый производный критерий — критерий Архимеда:

(24)

Если заменить симплекс пропорциональной ему относительной величиной разности температур, более удобной для определения в опытах, то можно получить новый производный критерий, являющийся критери­ем теплового подобия Грасгофа.

Все критерии подобия имеют четкий физический смысл и область применения. Если критерий Рейнольса выражается отношением сил инерции к силам трения, то он характеризует режимы течения жидкостей. Критерий Фруда определяется отношением сил инерции к объемным сила, включая гравитацию и отражает уровень кинетических сил в жидкости. Отношение нормальных сил давления к силам инерции (критерий Эйлера) характеризует условия гидротранспорта жидкостей. Критерий Струхаля определяется отношением сил конвекции и сил инерции характеризует условия перемешивания в жидкости.

Лекция 7.

Основные принципы анализа размерностей.

Анализ размерностей физических величин, характеризующих данное явление, позволяет составить инварианты физического подобия. К этому способу прибе­гают в тех случаях, когда явление настолько сложно, что его не пред­ставляется возможным описать дифференциальным уравнением.

Анализ размерностей позволяет функциональную зависимость самого общего вида свести к строго определенному числу безразмер­ных комплексов физических величин, а при наличии подобия — к строго определенному числу инвариантов подобия или критериев подобия. В основе этого способа лежит понятие размерности физиче­ской величины, под которой понимается представление ее в виде за­висимости от основных единиц измерения.

Основными единицами измерения служат единицы длины L, еди­ницы времени T, единицы силы К, и т. п. Таким образом, например размерность скорости w может быть представлена в виде формулы раз­мерности

Основные единицы измерения могут быть представлены в трёх системах: СГС (сантиметр-грамм-секунда), МКС (метр-килограмм-секунда) в МКГСС (метр- килограмм - сила- секунда), и СИ – стандартной системе единиц (метр-килограмм-секунда). В технических рас­чётах обычно основные единицы измерения выражают по системе МКС.

Понятие размерности физических величин позволяет представлять их в виде степенных уравнений. При соблюдении принципа однород­ности в уравнениях связи между физическими величинами эти урав­нения также могут быть представлены в виде степенных от основных единиц измерения, причем характер зависимости не изменяется при изменении масштабов применяемых единиц.

Число безразмерных комплексов, которое может быть получено из данной функциональной зависимости, устанавливается при помощи π-теоремы, согласно которой: если в исходную функциональную за­висимость самого общего вида входит n характеризующих процесс физических величин, которые выражаются через m основных единиц измерения, то эта зависимость может быть сведена к (n—m) числу безразмерных отношений, так называемых π-отношений.

Приведение исходных функциональных зависимостей самого об­щего вида к зависимости между безразмерными π-комплексами можно представить следующим примером. Предположим, что на основании опытных измерений установлено, что сила сопротивления тела R, дви­жущегося вблизи свободной поверхности вязкой жидкости, зависит от величин:

R — сила сопротивления кГ; l — линейный размер тела, м; v— скорость жидкости, м/сек; ρ — плотность жидкости, = вязкость жидкости, кГ-сек/м²; g — ускорение силы тяжести, м/сёк². Выписываем размерности величин, входящих в исходную зависи­мость в виде формул размерности:

Подставляем в исходную зависимость формулы размерности соот­ветствующих физических величин. Далее эту зависимость выразим в виде степенного уравнения с постоянным коэффициентом а и показа­телями степеней:

откуда

.

П ри сравнении показателей степени при одинаковых основаниях в левой и правой частях последнего равенства получим три уравнения, содержащих пять переменных:

На основании π-теоремы устанавливаем, что при числе физических величин n=6, которые выражаются через три основные единицы измерения (K, L, Т), т. е. m=3, исходная функциональная зависи­мость может быть сведена к трем безразмерным отношениям. В соот­ветствии с этим полученную систему трех уравнений решаем относи­тельно трех переменных х, у, z, полагая, что р и q заданы. Тогда по­лучим

,

Произведя перегруппировку множителей, объединяя величины с одинаковыми показателями степени и учитывая, что получим формулу сопротивления в виде безразмерного уравнения

Принимая во внимание, что — критерий Эйлера, критерий Рейнольдса, - критерий Фруда, a — безразмерный коэффициент пропорциональности, будем иметь

Таким образом, анализ размерностей позволяет получать инвари­анты физического подобия или критерия подобия, если такое соблю­дается.

Однако использование принципа размерности дает возможность находить зависимости между физическими величинами, выраженными в безразмерных комплексах, только в том случае, если известны все величины, входящие в эту зависимость.

Поэтому метод размерности сам по себе может оказаться недоста­точным для определения зависимостей между физическими величинами и требуется хорошее понимание сущности процесса.

Физическое моделирование. Масштабирование. Сущность физи­ческого моделирования заключается в решении двух задач: 1) в на­хождении постоянных в критериальном уравнении, которыми описа­на физическая модель процесса, 2) в построении модели. Если рассматриваемый процесс является сложным, зависящим от большого числа параметров, для которого трудно построить полную модель, то прибегают к приближенному моделированию.

В качестве примера возьмем критериальное уравнение сопротивле­ния при движении жидкости в аппаратах, которое выражается в виде зависимости

, (25)

(26)

Изменяемые параметры: а) геометрические l, d и т. п.; б) физи­ческие γ,μ и т. п.; в) переменные , и т. п.

Физическое моделирование выполняется в следующей последовательности: 1. Опыты ставятся в аппаратах различных размеров при соблюдении геометрического подобия и определяются зависимости искомых переменных величин от физических параметров.

Масштабы опытных установок выбираются с соблюдением геометрического подобия.

Например, в мешалках в качестве определяющего гео­метрического размера принимается эквивалентный диаметр насадки d_э; в аппаратах с мешалками диаметр мешалки d_м (диаметр окруж­ности, ометаемой лопастью мешалки) и т. п.

2. На каждой модели ставится несколько опытов, в которых меня­ются физические параметры для получения зависимости между ними. Взаимодействие параметров может быть непосредственно учтено при постановке направленного эксперимента или многофакторного пла­нирования.

3. Зависимость между безразмерными комплексами строится в логарифмических координатах, так как критериальные уравнения на основе принципа теории размерности — степенные уравнения и, сле­довательно, в логарифмических координатах они представляются прямыми линиями. Для этого опытные точки, обработанные в виде безразмерных комплексов (например, безразмерный коэффициент трения и число Рейнольдса Re), наносятся на логарифмиче­ский график.

По методу наименьших квадратов определяется положение прямой, около которой группируются опытные точки. Тангенс угла наклона полученной прямой выражает показатель степени n при определяю­щем безразмерном комплексе, а отсекаемый отрезок — множитель или коэффициент пропорциональности A в степенном уравнении:

. (27)

Однако коэффициент пропорциональности А обычно находят не только по отсекаемому отрезку, а при найденном показателе степени n задаются рядом значений Re и определяют соответствующие численные значения Re^-n. По графику при заданных числах Re берут соответствующий ряд значений λ и степенное уравнение решают относительно величины А:

(28)

Если на графике, выражающем связь между безразмерными ком­плексами, появляется горизонтальный или вертикальный ход прямой, это указывает на возникновение так называемого автомодельного ре­жима. Так, например, автомодельный режим появляется в шероховатых трубах при больших числах Рейнольдса, при этом коэффициент сопротивления становится постоянной величиной (λ= const), не за­висящей от Re.

Автомодельный режим может возникать в различных процессах. Автомодельность может характеризоваться независимостью процесса от любого параметра, т. е. он может быть автомодельным в смысле независимости от линейных размеров системы, от некоторых физических свойств системы и т. п. Так, например, режим эмульгирования в насадочных колоннах является автомодельным в смысле независимости от молекулярных характеристик процесса, таких как молеку­лярная вязкость и молекулярная диффузия. Распределение жидкости по сечению насадочной колонны в режиме эмульгирования становится автомодельным, так как не зависит от диаметра колонны.

Наличие автомодельных условий, т. е. исключение влияния одного или нескольких параметров на процесс, значительно упрощает задачу моделирования процесса в целом. Режим так называемого захлебывания в диффузионных аппаратах является автомодёльным режимом двухфазных систем.

Чтобы возможно было моделирование, необходимо закономерности процесса выражать или в форме критериального уравнения, или в форме уравнения, связывающего безразмерные отношения. Послед­ний вид уравнений наиболее типичен для процессов массопередачи в двухфазном потоке. Таким образом, построение физической модели основывается на использовании установленной критериальной зависи­мости. При этом могут быть созданы две модели; 1) геометрическая модель для различных физических систем; 2) геометрическая модель для одной и той же физической системы, но в пределах одного класса явлений (масштабирование).

Применительно к процессам массопередачи создание геометриче­ской модели для различных физических систем производится на осно­вании установленных закономерностей: а) между гидродинамически­ми параметрами и линейной скоростью потока, определяющей сечение аппарата; б) между гидродинамическими и физико-химическими па­раметрами, определяющими скорость протекания процесса и соот­ветственно длиной или высотой аппарата.

Создание геометрической модели для одной и той же физической системы (масштабирование), т. е. когда перерабатываемые продукты остаются одними и теме же и меняется лишь производительность, сводится к изменению масштаба модели и заключается в нахождении законов перехода от одних размеров аппарата к другим. Так, на­пример, масштабирование насадочных колонн для одних и тех же систем, характеризуемых удельными весами ( , ) и вязкостями ( , ), при одном и том же соотношении потоков жидкости (L) и газа (О), переход от одного основного размера аппарата к другому в двухфазной системе сводится к выполнению условий:

где , — линейные скорости потоков в двух аппаратах; , —линейные скорости потоков в двух аппаратах, в некоторой фиксированной критической (автомодельной) точке (например, точке инверсии, или захлебывания).

При физическом моделировании изучение данного явления проис­ходит при его воспроизведении в разных масштабах и анализе влия­ния физических особенностей и линейных размеров. Эксперимент про­водится непосредственно на изучаемом физическом процессе. Опытные данные представляются в форме зависимостей безразмерных комплек­сов, составленных комбинацией различных физических величин и ли­нейных размеров.

Физическое моделирование сводится к воспроизведению постоян­ства определяющих критериев подобия в модели и объекте. Практиче­ски это означает, что надо несколько этапов воспроизводить иссле­дуемый физический процесс, т. е. переходить от меньших масштабов осуществления данного физического процесса к большим, закономер­но варьируя определяющими линейными размерами. Таким образом, деформация физической модели осуществляется непосредственно на самом физическом процессе. Такой подход требует воспроизведения физического процесса во все больших и больших масштабах (вплоть до заводских).

Для сравнительно простых систем, таких, как гидравлические или тепловые с однофазным потоком, принцип подобия и физическое моделирование оправдывают себя, оперируя ограниченным числом критериев. Для сложных систем и процессов, описываемых сложной системой уравнений с большим набором критериев подобия, которые становятся одновременно несовместимыми, использование принципов физического моделирования наталкивается на трудности принципи­ального характера. Они заключаются в том, что не существует урав­нений движения двухфазных потоков общего вида, отсутствует возмож­ность задать граничные условия на нестационарной поверхности раз­дела фаз. Тем более не представляется возможным написать уравне­ния общего вида для двухфазной системы, осложненные массообменом.

Поэтому существуют лишь критерии подобия только для однофазных систем. Попытки же заменить описание двухфазных систем введением критериев, полученных для каждой фазы раздельно, являются научно необоснованными, так как при этом не учитывается взаимодействие фаз. В отличие от математического моделирования при физическом моделировании не рассматриваются конкретные свойства математического описания изучаемого процесса, и не вскрывается, механизм или структура процесса. Всегда следует иметь в виду, что математическое моделирование ни в коей мере не противопоставляется физическому моделированию, а скорее призвано дополнить его имеющимся арсеналом средств математического описания и численного анализа. В настоящее время методы физического моделирования приобретают новое качество – они могут быть использованы для определения границ деформации коэффициентов, входящих в уравнения математической модели, и тем самым позволяют масштабировать математически описанный процесс и устанавливать адекватность модели изучаемому объекту.