Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р

1. Составляем характеристический многочлен матрицы А и находим его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р, то А к диагональному виду не приводится.

2. Если все характеристические числа принадлежат полю Р, то для кратных корней проверяем условие (4.58) (для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней (4.58) не выполняется, то А к диагональному виду не приводится.

3. Если для каждого из собственных значений условие (4.58) выполняется, то А к диагональному виду приводится. Записываем этот диагональный вид – матрицу , располагая на ее главной диагонали собственные значения в произвольном порядке, причем каждое из значений повторяем столько раз, какова его кратность.

4. Записываем матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, – матрицу перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов, сохраняя порядок, установленный матрицей .

Пример. Найдем диагональный вид матрицы А и невырожденную матрицу Т, приводящую к этому диагональному виду, если

.

▼1.

2.

,

следовательно, А к диагональному виду приводится.

3. .

4. Находим собственные векторы:

;

Для искомого базиса находим два линейно независимых собственных вектора (фундаментальную систему решений): и .

: ;

( находим с помощью алгебраических дополнений).

4. Записываем T – матрицу перехода от исходного базиса к построенному базису из собственных векторов:

▲

§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора

Определение. Если – собственное значение линейного оператора , а система векторов пространства удовлетворяет условиям:

то вектор , называется i-м присоединенным вектором к собственному вектору линейного оператора .

Теорема 4.15. Пусть – линейное пространство над полем Р. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю Р, то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора f, причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения (без доказательства).

Правило нахождения присоединенных векторов

Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором базисе, – координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:

что равносильно уравнению

.

Таким образом, видим, что для отыскания i-го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.

Пример. Найдем базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей

▼ Находим собственные значения.

.

Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.

,

, значит, в искомом базисе – один собственный вектор и два присоединенных. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей .

4

7

. (4.59)

Получаем систему:

В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение . Теперь находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (4.59) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов по намеченным стрелкам:

.

Получаем систему

(4.60)

Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (4.60): , а второй – как решение системы с той же матрицей, но в качестве столбца свободных членов уже дописываем координатный столбец вектора , и опять пересчитываем его по намеченным стрелкам:

(4.61)

Частное решение системы (4.61) и будет вторым присоединенным вектором: .

Итак, искомый базис: – собственный; – 1-й присоединенный; – 2-й присоединенный векторы. ▲

Замечание. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам.