Глава 4. Линейные операторы
§ 1. Понятие отображения
Пусть
Х
и Y
– множества элементов произвольной
природы. Говорят, что задано отображение
(читается:
отображение
f множества
X
во множество Y),
если задан закон, по которому каждому
элементу
ставится в соответствие вполне
определенный элемент
(рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если
,
то
называется образом
элемента
;
– прообразом
элемента
при отображении f.
П
римерами
отображений являются функции, которые
изучаются в школьном курсе математики
и в математическом анализе, например,
функция
– отображение
.
Классный журнал является примером
отображения множества учеников в классе
во множество всех фамилий.
Отображение
называется тождественным,
если оно любой элемент оставляет на
месте. Тождественное отображение
множества X
на себя будем обозначать
.
Таким образом,
.
Отображение
называется взаимно
однозначным
(или биективным, или биекцией), если оно
удовлетворяет двум условиям:
1.
такой, что
.
2.
или одному, эквивалентному им, третьему условию:
3. Такой, что
Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.
Отображения
и
называются равными,
если
.
Пусть
заданы отображения
и
.
Произведением
(или
композицией) отображений f
и g
называется отображение
такое, что
(рис. 4.2).
Рис. 4.2
Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.
Примером произведения отображений является сложная функция.
Лемма
4.1. Произведение
отображений ассоциативно, т. е. если
заданы отображения
,
и
,
то
.
Для
доказательства равенства отображений
и
нужно показать, что
.
Итак,
выберем произвольное
.
Тогда
;
(4.1)
(4.2)
Сравнивая
(4.1) и (4.2), видим, что
:
и поэтому,
.
Отображение
называется обратным
к отображению
,
если
и
(рис. 4.3).
Рис. 4.3
Упражнение. Докажите следующие утверждения
1. Для того чтобы отображение f имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным.
2. Если отображение имеет обратное, то это обратное определяется однозначно.
§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
Определение.
Пусть
и
–
линейные пространства над одним и тем
же полем
.
Отображение
называется линейным
оператором,
если оно удовлетворяет следующим
условиям:
1*.
2*.
Следствие.
При линейном операторе образ линейной
комбинации векторов равен такой же
линейной комбинации их образов, т. е.
если
–
линейный оператор, то
:
(4.3)
Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
а)
n =
1:
[2*]
–
истинно.
б) Предполагая, что утверждение верно для (n-1)-го вектора, доказываем его для n векторов.
=
[1*] =
[2*
и предположение индукции] =
=