Свойства решений однородной системы линейных уравнений

1°. Сумма решений однородной системы также является ее решением.

►{X₁, X₂ – решения (2.18)} {A(X₁+X₂) = AX₁+AX₂ = О} {X₁+X₂ – решение (2.18)}.◄

2°. Если решение однородной системы умножить на число, то также получим ее решение.

►{Х – решение (2.18)} {А(αХ) = α(АХ) = αО = О} {αХ – решение (2.18)}.◄

3°. При условии во множестве всех решений однородной системы линейных уравнений существует линейно независимая система, состоящая из решений.

►Построим систему решений следующим образом: для решения свободным неизвестным придадим значения , для – , и т. д., и найдем базисные неизвестные, решая (2.20):

, , … , (2.21)

(звездочками здесь отмечены значения неизвестных, которые для наших рассуждений не так уж и важны). Так как , то по теореме 2.4 система (2.21) линейно независима.◄

4°. Каждое решение однородной системы может быть представлено в виде линейной комбинации решений (2.21

►Обозначим X₀ произвольное решение однородной системы,

,

и построим вспомогательный столбец

. (2.22)

Из свойств 1° и 2° вытекает, что и – также решения однородной системы. Но , где – некоторые числа. Подставив в (2.19), получаем систему крамеровского типа

которая имеет единственное тривиальное решение . Таким образом, , следовательно, .◄

Определение. Линейно независимое множество решений однородной системы линейных уравнений, через элементы которого любое решение этой системы может быть выражено в виде линейной комбинации, называется фундаментальной системой решений этой однородной системы.

Таким образом, множество всех решений однородной системы линейных уравнений совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций решений ее фундаментальной системы.

При доказательстве свойства 3° мы получили правило: для построения одной из фундаментальных систем решений следует свободным неизвестным придать значения по строкам единичной матрицы и найти соответствующие значения базисных неизвестных, решая систему (2.20). Можно доказать, что вместо единичной можно взять любую невырожденную матрицу (это вы докажете позднее в качестве упражнения). На практике сначала решают систему (2.20) в общем виде, выражая все неизвестные через свободные, а затем придают им необходимые значения.

Определение. Множество всех решений системы линейных уравнений, выраженное через параметры (свободные неизвестные), называется общим решением системы линейных уравнений. Каждое решение системы называется ее частным решением.

Чтобы получить какое-либо частное решение, следует в общем решении придать свободным неизвестным какие-то конкретные значения.

§ 6. Неоднородные системы линейных уравнений

Пусть задана неоднородная система линейных уравнений

АХ = В (2.23)

в матричной записи. Наряду с (2.23) рассмотрим однородную систему

А Х =О (2.24)

с той же матрицей, что и система (2.23). Однородную систему (2.24) будем называть союзной к неоднородной системе (2.23).

Теорема 2.6. Справедливы следующие утверждения.

1. Разность решений неоднородной системы линейных уравнений является решением союзной к ней однородной системы.

2. Сумма решения неоднородной системы линейных уравнений и решения союзной к ней однородной является решением неоднородной системы.

3. Если неоднородная система линейных уравнений имеет решение , то любое ее решение Х может быть представлено в виде

, (2.25)

где – некоторое решение союзной к ней однородной системы.

►1. – решения (2.23)} - решение (2.24}.

2. { – решение (2.23), – решение (2.24)} – решение (2.23)}.

3. Пусть система (2.23) имеет некоторое решение и пусть – ее произвольное решение. Положим . Тогда – решение (2.24) и .◄

Итак, если неоднородная система линейных уравнений имеет решение , то равенство (2.25) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех её решений и множеством всех решений союзной к ней однородной системы. Таким образом, если неоднородная система имеет решения, то она имеет их столько, сколько и союзная к ней однородная.

Вывод. Пусть – число неизвестных системы линейных уравнений (2.23). Если , то неоднородная система не имеет решений; если , то она имеет единственное решение, если же , то система (2.23) имеет бесчисленное множество решений. Кроме того, из (2.25) вытекает, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой некоторого ее частного решения и общего решения союзной к ней однородной системы.