Глава 2. Системы линейных уравнений
§ 1. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
Определения. Системой линейных уравнений называется система уравнений вида
(2.1)
где
– известные числа;
– неизвестные;
.
Решением
системы
(2.1) называется упорядоченный набор
чисел
,
который при подстановке в каждое из
уравнений системы обращает его в верное
равенство. Система называется совместной,
если она имеет хотя бы одно решение.
Введем следующие обозначения:
– матрица
системы, Ã=
–
расширенная
матрица,
–
столбец неизвестных,
– столбец свободных членов.
Матричными уравнениями называются уравнения вида АХ = В, ХА = = В, АХВ = С, где A, B, C – известные матрицы; Х – искомая.
Матрица
называется решением матричного
уравнения, если при подстановке в
это уравнение она обращает его в верное
равенство.
Лемма 2.1. Пусть А – матрица системы (2.1), а В – столбец ее свободных членов. Тогда система линейных уравнений (2.1) равносильна матричному уравнению
АХ=В, (2.2)
в
следующем смысле: если
– решение (2.1), то столбец
- решение (2.2), и наоборот.
►{
– решение системы (2.1)}
– решение
уравнения (2.2)}.◄
Уравнение (2.2) называется матричной формой записи системы (2.1).
Теорема
2.1 (правило Крамера).
Если в системе линейных уравнений число
уравнений равно числу неизвестных и
определитель системы
,
то эта система имеет единственное
решение, которое можно найти по формулам
Крамера
,
(2.3)
где
– определитель,
полученный из ∆ заменой j-ого
столбца на столбец свободных членов.
►На основании доказанной леммы система (2.1) равносильна матричному уравнению (2.2), поэтому теорему доказываем для этого уравнения.
Единственность.
Предположим, что (2.2) имеет два различных
решения
и
.
Тогда
{
и
}
– противоречие.
Существование. Покажем, что
– (2.4)
решение
уравнения
(2.2). Действительно,
Для получения же формул (2.3) распишем
равенство (2.4) поэлементно. Введем
обозначения:
Тогда
(2.4)
:
[теорема
замещения] =
◄
§ 2. Ранг матрицы
Определение.
Рангом матрицы называется
наивысший порядок отличных от нуля ее
миноров. Ранг нулевой матрицы по
определению равен нулю. Ранг матрицы
будем обозначать так:
.
Замечание.
Если все миноры k-го
порядка матрицы А
равны нулю, то все ее миноры (k
+ 1)-го порядка
тоже равны нулю. Таким образом, если
,
это значит, что у матрицы А
есть отличный от нуля минор r-го
порядка, а
все ее миноры (r
+ 1)-го порядка
равны нулю.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) умножение строк и столбцов на число, отличное от 0;
2) прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число;
3) перестановка строк или столбцов.
Лемма 2.2. Последнее элементарное преобразование может быть получено последовательным применением первых двух
►Докажем
утверждение для строк матрицы. Будем,
как и раньше, обозначать сокращенно
i-ю
строку матрицы А.
.