Примеры
1.
;
;
;
.
▼ Определены произведения AB; DA; BC; BD; DB; CD. Как видим, если произведение AB определено, то это вовсе не означает, что и произведение BA определено тоже. В нашем случае оба произведения определены только для одной пары: BD и DB. Их и вычислим:
;
.
Заметим, что произведения DB и BD не только не совпадают, но даже имеют разные размеры (конечно, по приобретении опыта матрицы надо перемножать устно, а не расписывать так подробно).▲
2.
.
▼ Матрицы A и B – квадратные матрицы второго порядка, определены как произведение AB, так и BA. Найдем оба этих произведения:
▲
Из приведенных примеров видим, что в том случае, когда оба произведения AB и BA существуют, они могут быть как одинаковыми, так и разными. Поэтому говорят, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно. Кроме того, второй пример показывает, что произведение матриц не обладает еще одним известным свойством произведения чисел: если произведение равно 0, то один из сомножителей равен 0. В приведенном примере произведение ненулевых матриц равняется нулевой. Поэтому в матричных равенствах ни в коем случае нельзя сокращать на матрицу. Тем не менее, некоторыми из известных свойств операция произведения матриц обладает.
Свойства произведения матриц
1°. (AB)C = A(BC) – ассоциативность.
Это свойство надо формулировать так: если определены произведения матриц AB и (AB)C, то определены и произведения BC и A(BC), причем (AB)C = A(BC).
2°. A(B + C) = AB + AC – дистрибутивность умножения относительно сложения.
3°. (A) B = A (B) = (AB).
4°. A = A; AE = A.
Докажем первое свойство, остальные сформулируйте текстом и докажите самостоятельно – в качестве упражнения. Итак, доказательство ассоциативности:
►Пусть
.
Так как существует произведение АВ,
то
,
значит,
.
Так как существует произведение
,
то
,
тогда
.
А значит, произведение
определено. Пусть
.
Тогда определено и произведение
.
Таким образом, мы видим, что размеры
матриц
и
совпадают, и для доказательства равенства
этих матриц остается доказать равенство
их соответствующих элементов. Приступаем
к вычислениям:
(1.5)
.
(1.6)
На основании леммы 1.1, сравнивая (1.5) и (1.6), получаем
:
,
и поэтому F = H.◄
§ 3. Степени квадратной матрицы
Если А
– квадратная матрица, то определено
произведение АА,
которое называется квадратом матрицы
А
и обозначается А2
. Квадрат матрицы А
является квадратной матрицей того же
порядка, что и А,
поэтому определено и произведение АА2.
Вообще, если для квадратной матрицы
определена степень
,
то по определению
.
Лемма 1.2.
Для любой квадратной матрицы А
и для любого натурального n
справедливо равенство
.
►Доказательство проведем методом математической индукции.
Проверяем утверждение при n = 1: А А = A A – истинно.
Предполагая, что утверждение верно при n = k, доказываем, что оно верно при n = k+1.
[определение k
+ 1-й степени]
=
[предположение индукции] =
[ассоциативность произведения] =
[определение k
+ 1-й степени]
=
.◄
Если произведение матриц коммутативно, то они называются коммутирующими или перестановочными. Таким образом, степени одной и той же квадратной матрицы перестановочны.
Можно доказать, что натуральные степени квадратной матрицы обладают следующими свойствами:
1°.
:
;
2°.
:
.
Если
,
то по определению считается, что A0
= E.