Топологические произведения.

Пусть E и F – топологические пространства. Множество EF определяется как множество пар (p,q), где pE, a qF. Оно превращается в топологическое пространство следующим образом: если (p,q)  EF, то окрестность точки (p,q) – это любое множество, содержащее множество вида UV, где U – окрестность точки p в E, a V– окрестность q в F.

Определение. Множество EF, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.

Например, в трехмерном евклидове пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.

Связность.

Определение. Пространство E называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в E. Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство.

Если Е и F – связные пространства, то произведение Е  F также связно.

Компактность.

Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в евклидовом пространстве.

Определение. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно обладает следующим свойством: каковы бы ни были две различные точки p и q, существует такая окрестность U точки p и такая окрестность V точки q, что UV=.

Любое евклидово пространство является хаусдорфовым.

Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово.

Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.

Определение. Покрытие топологического пространства E – набор множеств из E, объединение которых дает все пространство E. Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.

Определение. Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.

Определение. Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.

Компактное подмножество евклидова пространства должно быть замкнутым и ограниченным. Если перемножаемые компактные пространства A и B лежат в евклидовых пространствах размерностей и , то их произведение есть подпространство в -мерном пространстве. Так как пространства A и B компактны, они замкнуты и ограничены. Поэтому их произведение является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства. Следовательно, AB компактно.

Содержание КВМ Часть 2.

Содержание КВМ Часть 3.

Содержание КВМ Часть 4.

Содержание:

Линейная алгебра. Основные определения.

Основные действия над матрицами.

Транспонированная матрица.

Определители.

Дополнительный минор.

Элементарные преобразования.

Миноры.

Алгебраические дополнения.

Обратная матрица.

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

Эквивалентные матрицы.

Теорема о базисном миноре.

Матричный метод решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Решение произвольных систем уравнений.

Совместные системы.

Определенные системы.

Однородная система.

Элементарные преобразования систем уравнений.

Теорема Кронекера - Капелли.

Метод Гаусса.

Элементы векторной алгебры.

Коллинеарные векторы.

Компланарные векторы.

Линейные операции над векторами.

Свойства векторов.

Базис.

Линейная зависимость векторов.

Система координат.

Ортонормированный базис.

Линейные операции над векторами в координатах.

Скалярное произведение векторов.

Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов.

Уравнение поверхности в пространстве.

Общее уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Уравнение плоскости по 2 точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Уравнение плоскости по точке и 2 векторам, коллинеарным плоскости.

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости в векторной форме.

Расстояние от точки до плоскости.

Аналитическая геометрия.

Уравнение линии на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой по точке и угловому коэфициенту.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Уравнение прямой в отрезках.

Нормальное уравнение прямой.

Угол между прямыми на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно

данной прямой.

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Кривые второго порядка.

Окружность.

Эллипс.

Фокусы.

Эксцентриситет.

Директрисы.

Гипербола.

Эксцентриситет гиперболы.

Директрисы гиперболы.

Парабола.

Полярная система координат.

Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Параметрическое уравнение прямой.

Направляющие косинусы.

Угловой коэффициент.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Общие уравнения прямой.

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол между прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Угол между прямой и плоскостью.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Поверхности второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

Поверхности вращения.

Сфера.

Трехосный эллипсоид.

Однополостный гиперболоид.

Двуполостный гиперболоид.

Эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид.

Конус второго порядка.

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Связь цилиндрической и декартовой систем координат.

Связь сферической и декартовой системы координат.

Линейное (векторное) пространство.

Свойства линейных пространств.

Линейные преобразования.

Матрицы линейных преобразований.

Собственные значения и собственные векторы линейных

преобразований.

Характеристическое уравнение.

Собственное направление.

Преобразование подобия.

Квадратичные формы.

Определитель квадратичной формы.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Предел.

Монотонные последовательности.

Число е.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Основные теоремы о пределах.

Ограниченные функции.

Бесконечно малые функции.

Свойства бесконечно малых функций.

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Сравнение бесконечно малых функций.

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Некоторые замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке.

Разрывная функция.

Непрерывная функция.

Свойства непрерывных функций.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

Точки разрыва и их классификация.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Равномерно непрерывные функции.

Комплексные числа.

Тригонометрическая форма числа.

Действия с комплексными числами.

Формула Муавра.

Показательная форма комплексного числа.

Уравнение Эйлера.

Разложение многочлена на множители.

Теорема Безу.

Основная теорема алгебры.

Элементы высшей алгебры.

Основные понятия теории множеств.

Операции над множествами.

Отношения.

Бинарные отношения.

Свойства бинарных отношений.

Алгебраические структуры.

Группа.

Изоморфизм.

Абелева группа.

Кольцо.

Поле.

Дискретная математика.

Элементы комбинаторики.

Перестановки.

Размещения.

Сочетания.

Бином Ньютона.

Элементы математической логики.

Основные равносильности.

Булевы функции.

Предикаты и кванторы.

Графы и сети. Основные определение.

Марицы графов.

Достижимость и связность.

Эйлеровы и гамильтоновы графы.

Деревья и циклы.

Элементы топологии.

Метрическое пространство.

Открытые и замкнутые множества.

Непрерывные отображения.

Гомеоморфизм.

Топологическое произведение.

Связность.

Компактность.