Элементы топологии.

Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.

Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.

2) Если U – окрестность точки р, а V  U, то V – тоже окрестность точки р.

3) Если U и V – окрестности точки р, то их пересечение U  V тоже будет окрестностью точки р.

4) Если U – окрестность точки р, то можно найти такую окрестность V точки р, что W = V  U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U=FV, где V – окрестность точки р в E.

При этом множество F называется подпространством пространства Е.

Метрическое пространство.

Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении ЕЕ, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:

1) f(x, y) = f(y, x)

2) f(x, y) + f(y, x)  f(x, y)

3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

Определение. Число (x, y), где х Е и у  Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: (x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: (x, y)  r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.

Например, для трехмерного евклидова пространства R³ метрика определяется как , где х(х₁, х₂, x₃)  R³ и y(y₁, y₂, y₃)  R³.

Открытые и замкнутые множества.

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки U.

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F – открыто.

Отметим следующие свойства:

1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.

4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Определение. Если А – любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.

Определение. Множество называется замыканием множества А. Множество FrA = CA называется границей множества А.

Непрерывные отображения.

Пусть Е и F – топологические пространства, и пусть f – отображение пространства Е в F.

f: E  F.

Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве Е, отодражаются в точки, близкие друг к другу в множестве F.

Определение. Отображение f: E  F называется непрерывным в точке р, если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U)  V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.

Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.

Определение. Если f – взаимно одноначное отображение пространства Е в F, то существует обратное отображение g пространства F в E. Если и f и g непрерывны, то отбражение f называется гомеоморфизмом, а пространства Е и F – гомеоморфные.

Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.