Матрицы графов.

Пусть D = (V, X) – орграф, где V = {v₁, …, v_n}, X = {x₁, … , x_m}.

Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [a_ij] порядка п, у которой

Определение. Если вершина v является крнцом ребра х, то говорят, что v и х – инциндентны.

Определение. Матрицей инциндентности оргафа D называется матрица размерности пт B(D) = [b_ij], у которой

Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.

x₁

v₁ x₄ v₂

x₂

x₃

v₃

Составим матрицу смежности:

	v1	v2	v3
v1	0	1	0
v2	1	0	1
v3	1	0	0

Т.е. - матрица смежности.

Матрица инциндентности:

	x1	x2	x3	x4
v1	-1	0	1	1
v2	1	-1	0	-1
v3	0	1	-1	0

Т.е.

Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается a_ij=k, где k – кратность дуги (ребра).

С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определеить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.

Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Нарисованть также орграф , имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С.

x₄

x₃

v₂

x₂ x₅

x₆

x₁ v₁ v₃ x₇ x₈

x₁₀

x₁₁ x₉

v₄

Составим матрицу инциндентности:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11
v1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1
v2	0	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0
v3	0	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0
v4	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1

Итого:

Построим теперь ориентированный граф с заданной матрицей смежности.

x₄

x₅

v₂

x₂ x₇

х₃ x₆

x₁ v₁ х₈ v₃ x₁₀ x₁₁

х₉

х₁₇ х₁₅ x₁₄

x₁₆ х₁₃ x₁₂

v₄

Составим матрицу инциндентности для ориетированного графа.

Элемент матрицы равен 1, если точка является концом дуги, -1 – если началом дуги, если дуга является петлей, элемент матрицы запишем как 1.

Таким образом, операции с графами можно свести к операциям с их матрицами.