Перечисление графов Группа. Группа подстановки

Группа – алгебра с одно бинарной операцией ( ), которая обладает следующими свойствами:

1) замкнутость и 2) ассоциативность 3) наличие нейтрального элемента 4) существование обратного элемента для

Группа подстановки. Пусть . Подстановкой назовем .

Операция: произведение подстановок

Пример

Пример

Группа автоморфизмов графа

Пусть - некоторый граф. Автоморфизм графа - это изоморфизм на себя (с, сохраняющая отношение смежности между вершинами графа).

Пример

- не является автоморфизмом. - автоморфизм.

Группа автоморфизмов графа - , где - множество всех автоморфизмов графа, - операция произведения.

Пример

:

Пример

Пример

Задание

Задан автоморфизм. Определить все графы, которые допускают данный автоморфизм.

Операции над группами

Пусть даны группы автоморфизмов , . - порядок группы , - порядок группы . Группа действует на множестве . Группа действует на множестве ( ). - степень группы . - степень группы . Рассмотрим три операции над группами:

1. Сложение (объединение) групп – « ».

2. Умножение групп – « ».

3. Композиция групп – « ».

Рассмотрение проведем на примере:

1. Сложение групп. действует на Степень равна , порядок равен . Пример

2. Произведение групп действует на Степень равна , порядок равен . Пример

3. Композиция групп Действует на . Степень равна , порядок равен .

55