Алгоритм нахождения базисной системы циклов

1. Получить остов графа (удалить ребер; удаляемые ребра называются хордами). 2. Добавляя к остову поочередно по одной хорде получаем базисную систему циклов.

Пример

	остов					хорды
	1	1	1	1	1	1
	1		1		1		1
				1	1			1
		1		1		1	1
	1	1	1			1		1
	1		1	1			1	1
		1			1	1	1	1

Множество всех циклов графа:

Число циклов в графе не превосходит .

Пример

1 2 3

Теорема Кенига Граф двудолен тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины.

Разделяющие множества. Разрезы

Пусть - некоторый связный граф. Подмножество ребер графа называется разделяющим множеством, если удаление их из графа изменяет число компонент связности. Разделяющее множество называется разрезом графа, если любое его собственно подмножество не является разделяющим.

Пример

- разделяющее множество, разрез.

цикл разрез (коцикл)

Коциклический ранг - число линейно независимых коциклов графа. .

Пример

.

Алгоритм нахождения базисной системы разрезов

1. Построить остов графа . 2. Удалять поочередно по одному ребру (остов распадается на две компоненты). Добавить к разрезу те хорды, концы которых принадлежат разным компонентам.

Пример

	остов					хорды
	1					1
		1					1	1
			1			1	1	1
				1		1	1
					1	1	1

Число коциклов в графе равно .

Устойчивость графа Внешняя устойчивость графа

Пусть - некоторый граф. Подмножество вершин называется множеством внешней устойчивости, если 1) 2)

Мощность минимального множества внешней устойчивости называется числом внешней устойчивости графа . Для того, чтобы найти все множества внешней устойчивости графа, надо найти все покрытия модифицированной матрицы смежности графа. Модификация заключается в добавлении единичной главной диагонали.

Пример

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Множества внешней устойчивости: