Компоненты связности графа

Максимальный по включению вершин подграф графа, любые две вершины которого связны (имеется ввиду вершины подграфа) называется компонентой связности графа. - число компонент связности графа.

Теорема Любая вершина графа принадлежит ровно одной компоненте связности.

Число компонент связности графа является инвариантом. Если , то граф связен. Инварианты и являются зависимыми друг от друга.

Теорема

Следствие Если , то граф связен ( ).

Нахождение компонент связности

Шаг 0: поместить в список. Итерационный шаг: 1. Найти в списке первую непросмотренную вершину ( ). 2. Вычислить и добавить в список те вершины из окрестности, которых нет в списке. 3. Отметить как просмотренную. Заключительный шаг: Итерационный шаг выполняется до тех пор пока в списке есть непросмотренные вершины.

Связность в орграфах

Если начальная вершина совпадает с конечной, то такой маршрут называется контуром. Две вершины и сильно связны, если существует маршрут и существует маршрут .

Орграф называется сильно связным, если любые две его вершины сильно связны.

Пример

Максимальный по включению вершин подграф орграфа, любые две вершины которого сильно связны, называется компонентой сильной связности орграфа (КСС).

Отношение сильной связности является отношением эквивалентности на множестве вершин. Таким образом разбиение орграфа на КСС – это разбиение множества вершин на классы эквивалентности.

Нахождение КСС

Теорема Любая вершина орграфа принадлежит ровно одной КСС орграфа.

, где - множество вершин, достижимых из , - множество вершин, из которых достижимо .

Пример

- группировка, - отношение влияния.

Кланы – совокупности группировок с равными «правами» по отношению друг к другу и к внешним группировкам.

Сети

Орграф, в котором отсутствуют контуры, называется сетью. В сети есть следующие особые элементы:

вершина-исток ( )

вершина-сток ( )

Каждая вершина в сети является компонентой сильной связности. Пусть - орграф и - его КСС. Конденсатом орграфа называется сеть, которая получена из орграфа путем сжатия каждой КСС в одну вершину.

Циклы в графе

Эйлеровы и Гамильтоновы циклы

Цикл в графе называется Эйлеровым, если любое ребро графа участвует в его образовании ровно один раз. Граф, содержащий Эйлеров цикл называется Эйлеровым.

Теорема Эйлера Граф является Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные.

Цикл в графе называется Гамильтоновым, если каждая вершина графа участвует в его образовании ровно один раз. Граф, содержащий Гамильтонов цикл называется Гамильтоновым.

Свойства «Эйлеровости» и «Гамильтоновости» являются независимыми.

Цикломатика графа

Пусть - граф. Цикл в графе может быть записан в виде , где

Пример

Каждый цикл может быть представлен в качестве двоичного вектора. Множество циклов образует пространство двоичных векторов. Цикломатический базис – совокупность линейно независимых циклов графа, с помощью которых могут быть получены все остальные циклы. Цикломатическое число графа - мощность базисной системы циклов графа .

Пример

Граф, у которого цикломатическое число равно 0, называется деревом (или ациклическим графом). Многокомпонентный ациклический граф называется деревом. Остов графа – частичный граф исходного графа, в котором число вершин и число компонент связности совпадает с числом вершин и числом компонент связности исходного графа, но цикломатическое число равно 0.