19. Вторая вариация функционала. Необходимое условие Лежандра.

Рассмотрим простейшую основную задачу с интегральным функционалом

,

однако будем здесь считать, что подынтегральная функция трижды непрерывно дифференцируемая . Решение задачи будем искать на множестве

,

где – некоторые заранее фиксированные числа. Кроме того, введём вспомогательное множество

.

Существо задачи состоит в поиске экстремума функционала на множестве .

Как было показано ранее, если некоторая функция обеспечивает слабый относительный экстремум, то она с необходимостью удовлетворяет уравнению Эйлера.

Как и в математическом анализе, в вариационном исчислении можно получить дополнительные необходимые условия, а также достаточные условия экстремума, исследуя нелинейные слагаемые в приращении функционала.

Предположим, что в ЛНМП задан функционал , приращение которого при переходе от любой точки к точке можно представить в виде

,

где – линейный и непрерывный по функционал, – непрерывный по функционал, а – функционал, удовлетворяющий равенству

.

Если указанное представление имеет место, то говорят, что на множестве функционал является дважды дифференцируемым, а слагаемое называют его вторым дифференциалом.

С учётом указанного требования к функции интегральный функционал вариационного исчисления будет дважды дифференцируемым в пространстве .

Следствием этого свойства является факт существования второй вариации функционала на множестве :

, , ,

которая может быть определена по формуле

, ,

где , .

Лемма 1.  а) Если экстремаль доставляет функционалу слабый относительный минимум, то справедливо неравенство

, .

б) Если для некоторой экстремали выполняется строгое неравенство

, , ,

то на этой экстремали функционал достигает своего слабого относительного минимума.

Введем обозначения:

где – экстремаль, указанная в лемме 1.

Лемма 1а.  Необходимым условием достижения слабого относительного минимума на экстремали является неравенство

. (A)

Достаточным условием достижения такого минимума служит выполнение строгого неравенства

, , . (B)

Определение 1.  Будем говорить, что функция удовлетворяет условию Лежандра, если

.

Если же выполняется строгое неравенство

,

то будем говорить, что функция удовлетворяет усиленному условию Лежандра.

Теорема 1.  Если экстремаль доставляет слабый относительный минимум функционалу , то она удовлетворяет условию Лежандра.

20. Достаточные условия слабого относительного экстремума.

Введем обозначения:

где – экстремаль

Достаточные условия сильного относительного экстремума

Рассмотрим однопараметрическое семейство экстремалей , где – вещественный параметр.

Пусть некоторая кривая является экстремалью, проходящей через фиксированные точки и в простейшей основной задаче.

Пусть все кривые семейства проходят через точку и больше нигде не пересекаются в пределах некоторой области , которая включает точки и , на плоскости .

Определение 3.  Если найдётся такое вещественное число , для которого выполняется тождество , т.е. экстремаль принадлежит семейству при значении параметра , то говорят, что указанная экстремаль включена в центральное поле экстремалей в области .

Если экстремаль удовлетворяет усиленному условию Лежандра и условию Якоби, то она может быть включена в центральное поле экстремалей.

Определение 4.  Пусть экстремаль удовлетворяет усиленному условию Лежандра и условию Якоби, т.е. она может быть включена в центральное поле экстремалей. Тогда угловой коэффициент касательной к той единственной кривой поля, которая проходит через точку , являющийся функцией двух переменных и , и обозначаемый в виде , будем называть наклоном поля в точке .

Для поиска наклона поля может быть использовано уравнение:

Полученное дифференциальное уравнение в частных производных относительно неизвестной функции двух переменных принято называть уравнением для наклона поля.

Определение 5.  Функцию четырёх переменных

называют функцией Вейерштрасса по отношению к интегральному функционалу .

Теорема 3.  Для того, чтобы экстремаль доставляла функционалу сильный относительный минимум в простейшей основной задаче достаточно, чтобы она удовлетворяла усиленному условию Лежандра, условию Якоби, и чтобы при любых , при любых в окрестности , а также при любых значениях (не обязательно близких к ) выполнялось условие Вейерштрасса

,

где – наклон поля, включающего .